Метрика на сфере

[Dims]

Не пойму: если в локальной области на сфере ввести координаты $(\zeta, \xi)$ совпадающие с локально-евклидовыми координатами (то есть, в начале координат оси перпендикулярны, а единицы измерения совпадают с единицами длины), то в выражение для метрического тензора не будет входить радиус сферы?

[Munin]

В начале координат - не будет. Во всей локальной области в целом - будет.
Примеры выражений для такого метрического тензора:

$$dl^2=\cos^2\frac{\xi}{r}\,d\zeta^2+d\xi^2$$

$$dl^2=\frac{1}{1-(\zeta/r)^2-(\xi/r)^2}\left[\left(1-\frac{\xi^2}{r^2}\right)d\zeta^2+\left(1-\frac{\zeta^2}{r^2}\right)d\xi^2+2\frac{\zeta\xi}{r^2}d\zeta\,d\xi\right]$$

[Padawan]

Dims
Запишите, что именно за координаты: $x=x(\zeta,\xi), y=y(\zeta,\xi), z=z(\zeta,\xi)$

[epros]

Dims в сообщении #366586 писал(а):

в выражение для метрического тензора не будет входить радиус сферы?

А должен входить? Главное, чтобы он входил в тензор кривизны.

-- Ср окт 27, 2010 11:43:39 --

Padawan в сообщении #366637 писал(а):

Dims
Запишите, что именно за координаты: $x=x(\zeta,\xi), y=y(\zeta,\xi), z=z(\zeta,\xi)$

Я полагаю, что вопрос топикстартера в принципе понятен. Т.е. если у нас изначально на сфере имеются стандартные координаты $\theta$ и $\varphi$, то метрика такова:

$dr^2 = R^2 (d\theta^2 + \cos^2 \theta~ d\varphi^2)$.

Радиус сферы $R$ сюда входит явно.

Проделав замену:
$\theta' = R \theta$
$\varphi' = R \varphi$,

получим метрику:

$dr^2 = (d\theta')^2 + \cos^2 \frac{\theta'}{R}~ (d\varphi')^2$.

Т.е. в точках $\theta' = 0$ имеем $dr^2 = (d\theta')^2 + (d\varphi')^2$ - локально Декартову систему координат. Очевидно, Dims слегка удивлён отсутствием здесь $R$. Между тем, при дифференцировании метрики по координате $\theta'$ эта зависимость от $R$ непременно вылезет, так что тензор кривизны всё равно будет выражаться через $R$.

[moscwicz]

Dims в сообщении #366586 писал(а):

совпадающие с локально-евклидовыми координатами (то есть, в начале координат оси перпендикулярны, а единицы измерения совпадают с единицами длины)

epros в сообщении #366674 писал(а):

имеем $dr^2 = (d\theta')^2 + (d\varphi')^2$ - локально Декартову систему координат.

по терминологии: "локально" в этой науке означает " в пределах одной карты" в этом смысле евклидовых координат т.е. в которых $g_{ij}=\delta_{ij}$ не существует даже локально. А выбрать локальные координаты так, что в начале координат $\Gamma_{ij}^k(0)=0$ можно всегда

[epros]

moscwicz в сообщении #366686 писал(а):

по терминологии: "локально" в этой науке означает " в пределах одной карты"

Придумайте другое слово.

[moscwicz]

epros в сообщении #366687 писал(а):

moscwicz в сообщении #366686 писал(а):

по терминологии: "локально" в этой науке означает " в пределах одной карты"

Придумайте другое слово.

другое слово сами придумывайте, а я буду пользоваться стандартными терминами

[epros]

(Оффтоп)

moscwicz в сообщении #366689 писал(а):

другое слово сами придумывайте, а я буду пользоваться стандартными терминами

Это неконструктивно с Вашей стороны предъявлять топикстартеру претензию, что он "неправильно выразился", и при этом не говорить как правильно.

[moscwicz]

я просто обратил внимание на то, что надо правильно использовать термины ибо сам не сразу понял, что топикстартер хотел сказать. Он говорит вещи нестандартные, потому что перепараметризацией координатных линий с тем что бы какое-то условие выполнилось только для одной пары этих линий обычно не занимаются ы этом контексте.

[Munin]

Такой неразборчивой терминологией можно заразиться, например, если изучать ОТО по Ландау-Лифшицу. Там сплошь и рядом "локально" употребляется в смысле "в бесконечно малой окрестности точки, пренебрегая бесконечно малыми величинами выше какого-то порядка", причём никогда не указывается, выше какого именно порядка.

[Dims]

Конечно, я имел в виду, что система координат вводится в небольшой конечной области, много меньшей размеров сферы, но не бесконечно-малой, а совпадает она с локально-евклидовой системой не по всей области, а лишь в начале координат. Собственно говоря, от этого и моё недоразумение -- не сообразил, что по мере отдаления от начала кривизна будет сказываться.

-- Чт окт 28, 2010 09:53:05 --

Цитата:

Очевидно, Dims слегка удивлён отсутствием здесь $R$. Между тем, при дифференцировании метрики по координате $\theta'$ эта зависимость от $R$ непременно вылезет, так что тензор кривизны всё равно будет выражаться через $R$.

Ну да! А я было подумал, что вся роль радиуса ограничивается лишь пересчётом угла в длину дуги