Моменты скачков пуассоновского процесса

[IE]

Возник вопрос про распределение моментов скачков пуассоновского процесса, сам процесс определяем так (для простоты считаем, что $T=\mathbb{R}_+$):
1) $N(0)=0$ п.в.
2) процесс $N$ имеет независимые приращения
3) $N(t)-N(s), 0\leqslant s<t<\infty$ распределены по Пуассону с параметром $\lambda(t-s)$

В лекциях, которые нам читают, доказывается, что любой пуассоновский процесс имеет стандартную модификацию, то есть непрерывную справа и с единичными скачками.

То что разности моментов скачков $\tau_k-\tau_{k-1}$ независимы и имеют экспоненциальное распределение тоже доказывается, но выглядит это очень громоздко. Сначала где-то полторы страницы печатного текста считается совместная плотность моментов скачков $q_n(t_1,\dotsc,t_n)=\frac{\partial^n}{\partial t_1\dotsc\partial t_n}P\{\tau_1\le t_1,\dotsc\tau_n\le t_n\}$ и затем подставляется в совместную характеристическую функцию для разностей моментов скачков $\tau_k-\tau_{k-1}$. Возникает естественный вопрос можно ли как-то проще, чем на полторы страницы, вычислить совместную плотность $(\tau_1,\dotsc,\tau_n)$ или вообще как-то иначе доказать этот результат. Кстати, у Феллера пуассоновский процесс сразу определяется как процесс восстановления, откуда желаемый результат следует автоматически, но все-таки хочется пользоваться приведенным в начале поста определением, неужели ни в одном из учебников нет более простого доказательства этого результата?

[Alexey1]

Не совсем строго, но имеет смысл попробовать сделать строгим следующее. Пусть $X_1, X_2,...,X_n$ есть время между скачками (где $X_2$ время между первым и вторым скачками), для $n=2$ получается
$P(X_1>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}$.
$P(X_2>t)=E[P(X_2>t|X_1)]$
$P(X_2>t|X_1=k)=P(\text{0 скачков за } (k,k+t]|X_1=k)=$
$=P(\text{0 скачков за } (k,k+t])=e^{-\lambda t}$, так как процесс имеет независимые приращения.
Отсюда следует, что $X_2$ тоже распределена экспоненциально и независит от $X_1$.
Если дано время скачков $s_1,s_2,...,s_n$, то $f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2), \ x_2>x_1$. Теперь $S_1=X_1, S_2=X_1+X_2$ или $X_2=S_2-X_1$. Отсюда $f_{X_1,X_2}(x_1,s_2-x_1)=f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(s_2-x_1)=\lambda^2e^{-\lambda s_2}=f_{S_1,S_2}(s_1,s_2)$. Аналогично, для $n>2$.

[IE]

Alexey1, большое спасибо.

Я тут еще раз посмотрел лекции и придумал следующее доказательство, прошу поискать ошибки.

1. Для процессов Леви у нас доказывалась следующая теорема

Пусть дан процесс Леви $\{X_t,\,t\ge 0\}$ и марковский момент $\tau$ относительно фильтрации $\{\mathscr{F}_t,\,t\ge0\}$. Предположим, что $P\{\tau<\infty\}>0$. Определим случайный процесс $\{X'_t,\,t\ge 0\}$ на вероятностном пространстве $(\Omega\cap\{\tau<\infty\},\mathscr{F}\cap \{\tau<\infty\},P'=P(\cdot)/P\{\tau<\infty\})$. Тогда случайный процесс

$$\{X'_{\tau+t}=X'_\tau,\,t\ge 0\}$$

• не зависит от сигма-алгебры $\mathscr{F}_{\tau+}\cap\{\tau<\infty\}$
  
• одинаково распределен с $\{X_t,\,t\ge 0\}$
  
• является процессом Леви относительно фильтрации $\{\mathscr{F}_{\tau+t}\cap\{\tau<\infty\},\, t\ge 0\}$

Вот этой теоремой я и захотел воспользоваться, получилось примерно так:

2. Рассмотрим некоторый стандартный пуассоновский процесс $\Pi=\{\Pi_t,\,t\ge 0\}$, то есть непрерывный справа, имеющий пределы слева и единичные скачки, с вероятностью единица число скачков бесконечно, проведем, сужение исходного вероятностного пространства, так что число скачков будет бесконечно всегда.
Введем некоторые обозначения: $S_k,\;k\in\mathbb{N}$ --- время $k$-го скачка, положим $X_1=S_1$ и $X_k=S_k-S_{k-1},\;k\ge 2$ --- моменты между скачками. Докажем, что $S_k$ является марковским моментом относительно естественной фильтрации $\{\mathbb{F}_t,\,t\ge 0\}$ процесса $\Pi$:

$$\{S_k\le t\}=\{\Pi_t\ge k\}\in \mathbb{F}_t\; \forall\, t\ge 0.$$

Нужно доказать, что

$$ P\{X_k> t\}=e^{-\lambda t} \text{ для любого } k \in \mathbb{N},\; t\ge 0\eqno(1) $$

и

$$ P\{X_1>t_1,\dotsc,X_n>t_n\}=\prod_{i=1}^n e^{-\lambda t_i}, \text{ для любого } n \in \mathbb{N}.\eqno(2) $$

Докажем $(1)$:
\begin{multline*} P\{X_k>t\}=E P\{X_k>t|S_{k-1}\} =E P\{\Pi_{S_{k-1}+t}-\Pi_{S_{k-1}}=0|S_{k-1}\}=\\ =\{\text{ так как процесс }\Pi_{S_{k-1}+t}-\Pi_{S_{k-1}} \text{ не зависит от } \mathscr{F}_{S_{k-1}+},\\ \text{ а марковский момент } S_{k-1} \text{ измерим относительно } \mathscr{F}_{S_{k-1}}\subseteq \mathscr{F}_{S_{k-1}+}\}=\\ =P\{\Pi_{S_{k-1}+t}-\Pi_{S_{k-1}}=0\}=P\{\Pi_{t}-\Pi_0=0\}=e^{-\lambda t} \end{multline*}

Докажем $(2)$ для $n=2$:
\begin{multline*} P\{X_1>t_1, X_2>t_2\}=EP\{X_1>t_1, X_2>t_2|X_1\}=\\ =EP\{X_1>t_1, \Pi_{X_1+t_2}-\Pi_{X_1}=0|X_1\}=P\{\Pi_{X_1+t_2}-\Pi_{X_1}=0\}P\{X_1>t_1\}=\\=P\{\Pi_{t_2}=0\}P\{\Pi_{t_1}=0\}=e^{-\lambda t_1}e^{-\lambda t_2} \end{multline*}

Пусть $(2)$ верно для некоторого $n-1$, докажем его для $n$:
\begin{multline*} P\{X_1>t_1,\dotsc, X_n>t_n\}=EP\{X_1>t_1,\dotsc, X_n>t_n|S_{n-1}\}=\\ =EP\{X_1>t_1,\dotsc,\Pi_{S_{n-1}+t_n}-\Pi_{S_{n-1}}=0|S_{n-1}\}=\\ =P\{\Pi_{S_{n-1}+t_n}-\Pi_{S_{n-1}}=0\}P\{X_1>t_1,\dotsc,X_{n-1}>t_{n-1}\}=\\ =P\{\Pi_{t_n}=0\}\prod_{i=1}^{n-1}P\{\Pi_{t_i}=0\}=\prod_{i=1}^n e^{-\lambda t_i}. \end{multline*}

Вне контекста читаемого нам курса данное доказательство (если оно правильное) неудобно, так как опирается нам теорему из пункта 1, которая доказывается примерно на трех страницах, но раз нам повезло и мы ее уже доказали, то надо пользоваться )).

[Alexey1]

Вроде ошибок нет, всё правильно, хотя особо не вчитывался. Тут действительно зависит от того, как Вам процесс Пуассона на занятиях давали, так как его можно строить исходя из разных (эквивалентных) определений.