Корни многочлена

[Edward_Tur]

Многочлен $P(x)$ степени $n$ имеет $n$ различных корней: ${x_1}, \ldots ,{x_n}$.
Доказать, что $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{P'}({x_i})}} = 0} $ и $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{P''}({x_i})}}{{{P'}({x_i})}} = 0} $.

[ИСН]

Простите, $P^\text{что}$?

[Edward_Tur]

ИСН! Спасибо, исправил.

[svv]

Рассмотрим функцию $1/P(z)$ комплексного аргумента $z$. Она имеет $n$ различных простых полюсов в точках $z=x_i$, в каждом из которых её вычет равен $1/P'(x_i)$. Далее, если степень полинома выше 1, то вычет $1/P(z)$ в бесконечности равен нулю – подынтегральная функция в соответствующем интеграле быстро убывает. Сумма всех вычетов равна нулю – что и приводит к формуле $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{P'}({x_i})}} = 0} $.

Если степень полинома равна 1, то это доказательство не проходит, но ведь и формула неверна!

P.S. Вторая формула, кажется, доказывается аналогично, только надо рассмотреть функцию $P''(z)/P(z)$.

[arqady]

svv в сообщении #366254 писал(а):

Если степень полинома равна 1, то это доказательство не проходит, но ведь и формула неверна!

Если степень полинома равна единице, откуда у него возьмутся различные корни?

[TOTAL]

Edward_Tur в сообщении #366143 писал(а):

Многочлен $P(x)$ степени $n$ имеет $n$ различных корней: ${x_1}, \ldots ,{x_n}$.
Доказать, что $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{P'}({x_i})}} = 0} $ и $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{P''}({x_i})}}{{{P'}({x_i})}} = 0} $.

$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{P'}({x_i})}}$ и $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{P''}({x_i})}}{{{P'}({x_i})}} = 0} $ - это разделённые разности $(n-1)$- го порядка для функций $1$ и $P''(x)$ соответственно. Т.е. это $(n-1)$-е производные этих функций в какой-то точке (делённые на $(n-1)!$).

[svv]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #366279 писал(а):

Если степень полинома равна единице, откуда у него возьмутся различные корни?

Если степень полинома равна единице, все его корни различны, то есть нет двух совпадающих корней с различными значениями индекса, то есть нет кратных.
Обычный математический язык, что удивительного? Договоренности таковы, чтобы общие утверждения не требовали отдельных формулировок для $n=1$. Например, множественное число ("векторы базиса") допускает также истолкование "единственный вектор базиса", многоточие $x_1, ..., x_n$ не означает, что в списке есть еще элементы, отличные от $x_1$ и $x_n$. И т. д.

[Edward_Tur]

$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{x_i}{{{P'}({x_i})}} = 0} $ для $n>2$.
$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{1}}{{{{x_i}P'}({x_i})}} = -\frac{1}{P(0)} $ для $n>1$ и $P(0) \ne 0$.

[TOTAL]

Edward_Tur в сообщении #366356 писал(а):

$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{x_i}{{{P'}({x_i})}} = 0} $ для $n>2$.
$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{1}}{{{{x_i}P'}({x_i})}} = -\frac{1}{P(0)} $ для $n>1$ и $P(0) \ne 0$.

Это опять всё те же разделённые разности, т.е. производные. В первом тождестве в числителе можно ставить любой полином $G(x_i)$ степени $n-2$ (или меньше), во втором тождестве - степени $n-1$

$$\sum_{i=0}^{n}\frac{G(x_i)}{\displaystyle\prod_{k=0, \;k\neq i}^{n}(x_i - x_k)}=\frac{G^{(n)}(\Theta)}{n!}$$

[arqady]

svv в сообщении #366346 писал(а):

Например, множественное число ("векторы базиса") допускает также истолкование "единственный вектор базиса"

А если "различные векторы базиса" подобно тому, как в исходной задаче?

[svv]

(Оффтоп)

Простите, что вопросом на вопрос, но скажите честно: неужели формулировки типа "$n$ различных корней" в математических книгах, с Вашей точки зрения, являются надежным свидетельством того, что автор исключает случай $n=1$? По Вашему немалому читательскому опыту?

Имхо, по умолчанию этот случай включается, а его исключение должно оговариваться. Слово же "различные" таковой оговоркой не является, оно означает "если больше одного, то разные". Для краткости.

[arqady]

svv в сообщении #366498 писал(а):

[off] По Вашему немалому читательскому опыту?

Мне нравится читать и понимать то, что написано.

[svv]

(Оффтоп)

Ваше желание понятно. Но существуют условности устоявшегося языка. И я попробую продемонстрировать, что это очень хорошо.
Вот парочка примеров.
1) Д. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения, с. 40.

Цитата:

Если уравнение $n$-й степени

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0$

имеет $n$ различных корней

$\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n,$

то многочлен, стоящий в его левой части, может быть представлен как произведение $n$ линейных множителей,

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = a_n (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n).$

2) Э.Артин, Геометрическая алгебра, с. 17-18.

Цитата:

Подмножество $S$ называется независимым, если линейная комбинация $A_1 a_1 + A_2 a_2 + ... + A_r a_r $ различных элементов из $S$ является нулевым вектором только в том случае, когда все $a_i = 0$. Поэтому, в частности, пустое множество независимо.

Если, читая подобные фразы, Вы полагаете, что область их применимости ограничена условием $n \geq 2$, на том основании, что говорится о различных элементах, Вы совершаете досадную ошибку. В обоих случаях установившиеся условности математических текстов позволяют без особого напряга трактовать приведенные утверждения не только в случае $n=1$, но и в случае $n=0$. Во всяком случае, именно такое понимание закладывал в свой текст Э.Артин - как иначе получить из сказанного, что "пустое множество независимо"? Условились уже давно, например, что сумма нулевого числа слагаемых равна 0, что произведение нулевого числа сомножителей равно 1, а сумма одного слагаемого равна ему самому. Что 0 корней – это отсутствие корней и т. д. Что пустое множество, наконец, вопреки происхождению термина от слова "много", вовсе не содержит элементов...

Язык этот сформировался под действием стремления математиков как можно более лаконичными формулировками охватить как можно более общий случай. И сейчас, думаю, вот так никто не пишет:

Цитата:

Если уравнение $n$-й степени, где $n \geq 2$

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0$

имеет $n$ различных корней

$\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n,$

то многочлен, стоящий в его левой части, может быть представлен как произведение $n$ линейных множителей,

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = a_n (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n),$

если же уравнение 1-й степени имеет корень $\alpha_1$, то многочлен, стоящий в его левой части, может быть представлен в виде

$a_0 + a_1 x= a_1 (x-\alpha_1).$

P.S. И ещё пример: "Отображение множества $X$ в множество $Y$ называется инъекцией, если образы различных элементов $X$ различны".
А если в множестве $X$ только один элемент, так что двух различных элементов не найдется, можно это назвать инъекцией? По-Вашему - нет, но математики решили иначе. Если один элемент - это всегда инъекция. Язык у них такой.

[arqady]

svv, мне представляется, что если в задаче говорится о данных различных числах, то и решать нужно именно эту задачу. Если интересно проверить, что происходит, когда дано одно число - ну так на здоровье, только это уже другая задача.
Скажу напоследок, что не увидел никакой связи между трактовкой условия исходной задачи и приведёнными Вами утверждениями, а в словах, идущих после определения инъекции, Вы приписали мне то, что я не говорил.

[TOTAL]

Цитата:

Многочлен $P(x)$ степени $n$ имеет корни ${x_1}, \ldots ,{x_n}$, среди которых нет одинаковых.

Такому многочлену разрешается иметь первую степень?