вычисление континуального интеграла

[Kamaz]

Помогите разобраться, кто знает. Нужно вычислить вот такое среднее, где $x_n(k)$ - фурье образ $n-$ой компоненты векторного (Бозе) поля $\Bold{X}(\Bold{r})$.
$<x_n(p)x_m(q)>=\frac{\int\prod_{k,i}dx_i(k)x_n(p)x_m(q)e^{-\sum x_i(-k)A_{ij}x_j(k)}}{\int\prod_{k,i}dx_i(k)e^{-\sum x_i(-k)A_{ij}x_j(k)}}$. Интуитивно понимаю, что должно получится что-то типа $\delta(p+q)(A_{ij})^{-1}_{nm}$. Кто-нибудь может рассказать детально как провести вычисления? Желательно, без диагонализации матрицы $A$, а просто в явном виде?

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #365835 писал(а):

Помогите разобраться, кто знает. Нужно вычислить вот такое среднее, где $x_n(k)$ - фурье образ $n-$ой компоненты векторного (Бозе) поля $\Bold{X}(\Bold{r})$.
$<x_n(p)x_m(q)>=\frac{\int\prod_{k,i}dx_i(k)x_n(p)x_m(q)e^{-\sum x_i(-k)A_{ij}x_j(k)}}{\int\prod_{k,i}dx_i(k)e^{-\sum x_i(-k)A_{ij}x_j(k)}}$. Интуитивно понимаю, что должно получится что-то типа $\delta(p+q)(A_{ij})^{-1}_{nm}$. Кто-нибудь может рассказать детально как провести вычисления? Желательно, без диагонализации матрицы $A$, а просто в явном виде?

Это не сложно. Во-первых, поскольку фурье-образы (а значит комплексные величины), надо расписать через действительную и мнимую часть (так что интеграл "удвоится"). Далее надо выкинуть
$x_n(p)x_m(q) $ из под верхнего интеграла а вместо этого вставить $e^{\sum x_i J_i}$ Т.е. прейти к производящему функционалу средних заданного типа. Нужные вам средние получаются из этого функционала дифференцированием по J и последующей (!) подстановкой J=0. Производящий функционал легко и просто вычисляется сдвигом переменной интегрирования (сдвиг надо сделать так, чтобы исчез линейный по переменным интегрирования член в экспоненте). Вот, собственно, и все. Но пожалуй было бы проще сделать то же самое в координатном представление а к фурье-образам перейти уже в ответе.

[Kamaz]

Спасибо за совет. Итак, следуя вашему совету у меня получилось:
$<x_n(r')x_m(r'')>=\frac{\delta ^2}{\delta J_n(r') \delta J_m(r'')}e^{\int dr J_i(r)(A^{-1})_{ij}J_j(r)}= (A^{-1})_{nm}(r')\delta (r'-r'')+(A^{-1})_{mn}(r')\delta (r'-r'')$

В последнем равенстве положено уже $J=0$. Переходя в фурье представление получаем:
$ (A^{-1})_{nm}(p+p')+(A^{-1})_{mn}(p+p')$

Странный ответ...что-то тут не то...

-- Пн окт 25, 2010 10:48:02 --

А вот если не переходить в координатное пространство, то ответ получается такой $[(A^{-1})_{nm}(p)+(A^{-1})_{mn}(p)]\delta (p+p')$

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #365926 писал(а):

Странный ответ...что-то тут не то...

Где-то вы наврали (разбирайтесь сами). Куда дельта-функция делась? Подсказка: она возникает из второго преобразования Фурье (два преобразования по двум координатам, одно снимается координатной дельта-функцией а второе дает дельта-функцию сохранения импульса).

Если бы был нелокальный случай, то вместо координатной дельта-функции была бы просто некая функция от разности. Делаем замену переменных: переходим к разности и сумме координат. Фурье-преобразование по сумме все равно дает сохранение импульса.

[Kamaz]

Вы все правильно говорите, и так действительно было бы, но только если бы $A^{-1}$ не зависила от координат. первое интегрирование снимается дейсвительно координатной дельта функцией, и получаем $\int dr' A^{-1}(r')e^{i(p+p')r}=A^{-1}(p+p')$

[Alex-Yu]

Kamaz в сообщении #366034 писал(а):

Вы все правильно говорите, и так действительно было бы, но только если бы $A^{-1}$ не зависила от координат. первое интегрирование снимается дейсвительно координатной дельта функцией, и получаем $\int dr' A^{-1}(r')e^{i(p+p')r}=A^{-1}(p+p')$

Ах у вас нелокальный случай... Тогда наврано в производящем функционале. Должно быть $e^{\int\int J_i(r')K_{ij}(r'-r)J_j(r)dr'dr}$. Никакой координатной дельта-функции в этом случае не будет. И просто к обратной матрице ядро не сводится.

Если же K зависит не от разности координат а более общая зависимость (например вида $F(r) \delta (r-r')$), то закона сохранения импульса и быть не может -- нет трансляционной инвариантности.

В общем проверьте все внимательно с самого начала. Простая небрежность в вычислениях. Тщательнее нужно:-)

[Kamaz]

Действительно, небрежность! Я уже разобрался, спасибо за помощь!!