Множество разрывов функции имеет первую категорию?

[moscwicz]

Функция $f:[0,1]\to\mathbb{R}^m$ непрерывна.
Верно ли, что множество разрывов функции $g(y)=\min\{x\mid f(x)=y\}$ имеет первую категорию?

[Padawan]

$g$ откуда куда действует? $f$ сюръекция?

[moscwicz]

$g$ действует, очевидно, из $f([0,1])$ в $[0,1]$, $f$ любая непрерывная функция. Первую категорию надо понимать в смысле индуцированной из $\mathbb{R}^m$ топологии в $f([0,1])$ .

Известно, что если $m=1$ то множество точек разрыва $g$ не более чем счетно. Т.е. после удаления счетного множества из области определения $g$ становится непрерывной. Нверное правельние ставить вопрос не про категорию , а про счетность множества разрывов

[Padawan]

$g$ является полунепрерывной снизу на $Y=f([0,1])$. Действительно, пусть $g(y_0)>A$. Надо показать, что найдется окрестность $y_0$ такая, что $g(y)>A$ для всех $y$ из этой окрестности. Предположим, что это не так. Тогда найдется последовательность $y_n\to y_0$ такая, что $g(y_n)\leqslant A$. Выделяя из $x_n=g(y_n)$ сходящуюся подпоследовательность, по непрерывности $f$ получим, что $g(y_0)\leqslant A$. Противоречие.
Полунепрерывная функция является функцией первого класса Бэра (поточечный предел непрерывных), а множество точек разрыва функции первого класса имеет первую категорию.

Вместо $\mathbb R^m$ можно взять любое метрическое пространство.

[moscwicz]

Спасибо