
является полунепрерывной снизу на
![$Y=f([0,1])$ $Y=f([0,1])$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/3/6639395e5419787d8c92bc76fdb400e582.png)
. Действительно, пусть

. Надо показать, что найдется окрестность

такая, что

для всех

из этой окрестности. Предположим, что это не так. Тогда найдется последовательность

такая, что

. Выделяя из

сходящуюся подпоследовательность, по непрерывности

получим, что

. Противоречие.
Полунепрерывная функция является функцией первого класса Бэра (поточечный предел непрерывных), а множество точек разрыва функции первого класса имеет первую категорию.
Вместо

можно взять любое метрическое пространство.