Два дифференциальных уравнения

[Sate]

Из Филлипова, 474 и 478
$x^3y'' = (y-xy')(y-xy'-x)$
$x^2(yy''-(y')^2)+xyy'=(2xy'-3y)\sqrt x^3$
Требуется понизить порядок уравнений, пользуясь их однородностью
но они не однородны ни относительно $y$ и его производных, ни в обобщённом смысле..
что делать?

[EtCetera]

Sate в сообщении #364900 писал(а):

они не однородны

Вы уверены?
1. Замена $z=\dfrac{y}{x}$ ($z'=\ldots$), затем $w=xz'$ ($w'=\ldots$).
2. Замена $z=\dfrac{y'}{y}$, затем $w=xz$ (или сразу $u=\dfrac{xy'}{y}$).
В обоих случаях указанные замены понижают порядок уравнения на 1.

[Sate]

м
а как показать что они однородны?
ведь при замене $y$ на $ky$ , $y'$ на $ky''$ уравнение меняется

-- Пт окт 22, 2010 21:53:22 --

и почему замены именно такие?
с первым уравнением не получается..
и зачем искать там $z'$, надо же $y'$ и $y''$ выражать через $z$, $z'$ и $x$
или я не понимаю чего-то?

[EtCetera]

Sate в сообщении #364985 писал(а):

и зачем искать там $z'$, надо же $y'$ и $y''$ выражать через $z$, $z'$ и $x$

Да, Вы, конечно, правы. Именно так и поступайте. Просто выражения типа $y\pm xy'$ должны намЯкивать, о чем я и попытался Вам сообщить.

[Sate]

ну тут понятно, производная произведения или кусок производной частного.
пользуясь Вашей подстановкой в правой части уравнения получилось выражение, зависящее от $z$ и $x$, а в левой как быть c $y''$ ?
при замене всё равно вылазит $z''$

[EtCetera]

Sate в сообщении #365057 писал(а):

а в левой как быть c $y''$ ?
при замене всё равно вылазит $z''$

EtCetera в сообщении #364963 писал(а):

затем $w=xz'$

Вот тут уже проще посчитать $w'=\ldots$ и разглядеть получившееся выражение в левой части уравнения.

[Dext]

Sate в сообщении #365057 писал(а):

ну тут понятно, производная произведения или кусок производной частного.
пользуясь Вашей подстановкой в правой части уравнения получилось выражение, зависящее от $z$ и $x$, а в левой как быть c $y''$ ?
при замене всё равно вылазит $z''$

В первом, после замены \[y=\frac{z}{x}\[, должно получиться это уравнение \[xz''-xz'^2+z'=0\[

Далее, если не ошибаюсь, надо рассмотреть два случая:

1) \[z' = 0~\Rightarrow~z=C~\Rightarrow~\frac{y}{x}=C~\Rightarrow~y=Cx;\[

2) $z'\ne0$, тогда можно поделить уравнение на $z'$ и $x$ и выделить полную производную в левой части уравнения:

\[xz''-xz'^2+z'=0\Rightarrow\frac{z''}{z'}-z'+\frac{1}{x}=0~\Rightarrow~\Bigl(\ln{z'}-z+\ln{x}\Bigl)'=0~\Rightarrow~\ln{z'}-z+\ln{x}=C\[

[EtCetera]

Dext

Dext в сообщении #365308 писал(а):

можно поделить уравнение на $z'$ и $x$ и выделить полную производную в левой части уравнения:

\[xz''-xz'^2+z'=0\Rightarrow\frac{z''}{z'}-z'+\frac{1}{x}=0~\Rightarrow~\Bigl(\ln{z'}-z+\ln{x}\Bigl)'=0~\Rightarrow~\ln{z'}-z+\ln{x}=C\[

А мой способ дает
$xz''-xz'^2+z'=0\Rightarrow (xz')'-\dfrac{(xz')^2}{x}=0\Rightarrow$
$\Rightarrow -\dfrac{1}{xz'}-\ln x=C\Rightarrow z'=-\dfrac{1}{x(\ln x+C)}$,
что немного отлично от Вашего варианта. Причем, ни там, ни там не вижу ошибки. Неужели Боливар снесет двоих?
P.S. Хотя
$(xz')'-\dfrac{(xz')^2}{x}=0\Rightarrow\dfrac{(xz')'}{xz'}-z'=0\Rightarrow\left(\ln(xz')\right)'-z'=0\Rightarrow\dots$

[Dext]

EtCetera в сообщении #365339 писал(а):

Dext
А мой способ дает
$xz''-xz'^2+z'=0\Rightarrow (xz')'-\dfrac{(xz')^2}{x}=0\Rightarrow$
$\Rightarrow -\dfrac{1}{xz'}-\ln x=C\Rightarrow z'=-\dfrac{1}{x(\ln x+C)}$,
что немного отлично от Вашего варианта. Причем, ни там, ни там не вижу ошибки. Неужели Боливар снесет двоих?
P.S. Хотя
$(xz')'-\dfrac{(xz')^2}{x}=0\Rightarrow\dfrac{(xz')'}{xz'}-z'=0\Rightarrow\left(\ln(xz')\right)'-z'=0\Rightarrow\dots$

У Вас как-то мутно, я даже не сразу въехал, что к чему; но это моё чисто субъективное мнение.

Кстати, во втором, мне кажется, проще не делать явных подстановок:

\[x^2(yy''-y'^2)+xyy'=(2xy'-3y)\sqrt {x^3}~\Rightarrow\[

\[\Rightarrow~x\frac{yy''-y'^2}{y^2}+\frac{y'}{y}=-2\!\left(-x^{3/2}\frac{y'}{y^2}+\frac{3}{2}x^{1/2}\frac{1}{y}\right)\!~\Rightarrow\[

\[\Rightarrow~x\!\left(\frac{y'}{y}\right)'+\frac{y'}{y}=-2\!\left(x^{3/2}\!\left(\frac{1}{y}\right)'+\Bigl(x^{3/2}\Bigl)'\frac{1}{y}\right)\!~\Rightarrow\[

\[\Rightarrow~\!\left(x\frac{y'}{y}\right)'= -2\!\left(\frac{x^{3/2}}{y}\right)'~\Rightarrow~x\frac{y'}{y}+C=-2\frac{x^{3/2}}{y}\[

[Sate]

Спасибо)
а всё таки как показать, что они однородные?)

[Dext]

Sate в сообщении #365447 писал(а):

Спасибо)
а всё таки как показать, что они однородные?)

В первом можете сделать замену \[z=y-xy',~z'=-xy''\[, тогда получите однородное уравнение

\[z'-\frac{z}{x}+\left(\frac{z}{x}\right)^2=0\[