Теория вероятностей.... помогите решить

[Sintanial]

Решаю подруге контрольную(учится на заочном)....алгербу, и матан сделал а вот с теор вером проблемы так как нам его будут читать в след семестре, помогите решить.

1)Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью $p=0.9$. Посеяно $n=9$ семян. Найти вероятность того что будет $m=4$ всхода. Найти вероятность того что будет не менее 5 всходов, а так же наивероятнейшее число всходов.
2)Вероятность аллергической реакции у больного на данное лекарство равна $p=0.02$. Лекарство было рекомендовано $n=200$ больным. Найти вероятность того что у $m=9$ больных обнаружится аллергическая реакция.
3)Принимая вероятность вызревания кукурузного стебля с трёмя початками равной $p=0.7$, найти вероятность того что из $n=550$ стеблей, растущих на опытном участке, число вызревших будет находиться в пределах от $m_1=350$ до $m_2=450$

Читаю щас книгу Гмурман теор вер.... но мало что понятно.... а точнее, теория понятно а как применять на практике не понятно =) !

[Alexey1]

Первая задача это схема Бернулли. Вторая и третья это предельные теоремы.

[Niclax]

См. Гмурман "Руководство к решению задач по теории вероятностей и мат. статистике", третья глава

[maxmatem]

Книга Баврин И.И. "Теория вероятностей и элементы математической статистики", кажется как-то так, там есть почти ваша первая задача, в разделе распределение Бернулли.

[Sintanial]

Ну начнём с первой задачи.... как вы сказали она решается по формуле Бернулли :
$P_n(m)=\dfrac {n!}{m!(n-m)!}p^mq^{n-m}$ где $q=1-p$
тогда получается
а)$P_9(4)=\dfrac {9!}{4!5!}0.9^4 0.1^{5}=0,000826686$ -мне кажется что слишком маловато
б) По теореме сложения
$P(a)=P_9(5)+P_9(6)+P_9(7)+P_9(8)+P_9(9)$
в) Наивероятнейшее число всходов по схеме Бернулли
$np-q<k<np+p$ тогда получается $8<k<9$. В итоге k=9 - то есть получается 9 из 9 =)

Всё правильно ?

-- Вс окт 24, 2010 00:54:05 --

Как решить вторую задачу ? .... Лично мне кажется что так же как первую задачу пункт а) - где использовалась формула Бернулли.... тупо подставить и всё.... или нет ?

[maxmatem]

Мало ли , что кажется. Правду надо принимать независимо от того нравится она кому-нибудь или нет.

-- Вс окт 24, 2010 01:00:17 --

Вторую задачу проще решить ч\з формулу Пуассона.
$\[ P_n (m) = \frac{{\mu ^m e^{ - m} }} {{m!}};\mu = p_n \cdot n \] $
её используют когда очень маленькая вероятность, это как раз ваш случай.Я конечно не исключаю что вам очень нравиться формула Бернулли и вы решите задачу с её помощью.(Но лучше по Пуассону)

[Sintanial]

Спасибо за подсказку ща решу...

И так. Как вы и сказали по формуле Пуассона
$P_n(m)=\dfrac{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}$ где $\lambda=np$
получается
$\lambda=200 \cdot 0.02=4$
$P_200(9)=\dfrac{4^9}{9!e^4}=0.013231$

-- Вс окт 24, 2010 01:15:55 --

Да по формуле Бернулли считать было бы довольно тяжеловато ..... хотя Maple всегда под рукой

-- Вс окт 24, 2010 01:17:40 --

Так ну осталась еще одна.... последняя. Будьте так любезны подскажите каким её способом решать =)))

-- Вс окт 24, 2010 01:49:42 --

Такс тута еще одна задачка оказывается есть
Вероятность приживления прививаемой почки равна $p=0.65$. Найти вероятность того что при проведении $n=70$ прививок получится $m=60$ саженцев.

Я как понимаю эту задачку надо решать через формулу Муавра-Лапласа так как $\lambda=70\cdot 0.65 =45.5>10$ поэтому Пуассоном лучше не пользоваться

Т.е.$ P_n(m)=\dfrac{1}{\sqrt{npq}}\varphi(\dfrac{m-np}{\sqrt{npq}})$
=>$P_n(m)=\dfrac{1}{\sqrt{70\cdot0.65\cdot0.35}}\varphi(\dfrac{14.5}{\sqrt{70\cdot0.65\cdot0.35}})=0.0001358255088$

Правильно ?

[Niclax]

3) По интегральной теореме Муавра-Лапласа

[Sintanial]

оО и правда по ней можно. Щас попробую

Формула
$P_n(m1,m2)=F(\dfrac{m_2-np}{\sqrt{npq}})-F(\dfrac{m_1-np}{\sqrt{npq}})$
При подсчете у меня получилось P=0.9994364112

-- Вс окт 24, 2010 02:06:02 --

Спасибо всем большущее за помощь..... надеюсь что я всё решил правильно =) !