Интегралы по траекториям и собственные функции гамильтониана

[r1811]

Всем доброго времени суток. Не могу разобраться со следующей проблемой: как с помощью формализма функционального интеграла найти собственные функции оператора энергии? Уточню вопрос - всем известно, как определить волновую функцию в координатном представлении (как полную амплитуду перехода в данную точку). Если требуется, чтобы это состояние было собственным состоянием гамильтониана, что изменится ? Возможно, стоит наложить граничное условие, чтобы на каждой траектории, по которой происходит интегрирование, энергия в конечной точке имела бы определенное значение, т.е. считать амплитуду перехода из точки в точку при данном значении энергии? Сразу спрошу про попытку посчитать амплитуду перехода из точки х в точку х и далее разложить через оператор эволюции по собственным функциям энергии (см, например, "Инстантонная азбука") - в данном случае все ясно в случае дискретного спектра и не совсем ясно, что получится в случае вырожденного по энергии спектра.

[Alex-Yu]

r1811 в сообщении #362771 писал(а):

Не могу разобраться со следующей проблемой: как с помощью формализма функционального интеграла найти собственные функции оператора энергии? Уточню вопрос - всем известно, как определить волновую функцию в координатном представлении (как полную амплитуду перехода в данную точку). Если требуется, чтобы это состояние было собственным состоянием гамильтониана, что изменится ? Возможно, стоит наложить граничное условие, чтобы на каждой траектории, по которой происходит интегрирование, энергия в конечной точке имела бы определенное значение, т.е. считать амплитуду перехода из точки в точку при данном значении энергии?

Все намного проще: стационарным (с определенной энергией) состояниям соответствуют периодические траектории. Вот по множеству периодических (замкнутых) траекторий и интегрируйте. Можно найти уровни энергии и соответсвующие состояния. Суть в том, что мы рассматриваем период Т и находим
амлитуду $\psi(x)=\int G(x,x')\psi(x')dx'$ где $G(x,x')$ представляется континуальным интегралом. Не при любом Т получается именно так (волновая функция переходит в себя через время Т). Отсюда можно определить уровни энергии (т.е. Т). Особенно удобен такой прием в квазиклассическом случае. Вот примерно так, хотя детали я основательно подзабыл.

[Munin]

Возьмём тор (прямоугольник с периодическими г. у.) с иррациональным отношением сторон. Стационарные решения в нём - стоячие волны, являющиеся суперпозицией бегущих волн, волновой вектор которых кратен обратным длинам сторон. Соответствующие траектории, как я понимаю, не замкнуты.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #364695 писал(а):

Возьмём тор (прямоугольник с периодическими г. у.) с иррациональным отношением сторон. Стационарные решения в нём - стоячие волны, являющиеся суперпозицией бегущих волн, волновой вектор которых кратен обратным длинам сторон. Соответствующие траектории, как я понимаю, не замкнуты.

Тор, пожалуй, это всеже особый случай. Вообще квантовая механика на нетривиальных многообразиях имеет особенности. Даже на сфере уже есть ньюансы (в обычном формализме это проявляется в "патологических" свойствах операторов угловых координат, если не ошибаюсь, и у Пайерлса в "Сюрпризах в теорфизике" это отмечалось). Хотя я последний раз с этим возился лет так 20 назад и сейчас почти все уже забыл. Конечно, лучше бы если кто более близкий к этим проблемам прокоментировал бы. Вопрос-то интересный. Хотя и как-то слишком специальный. Но что-то вопрос "повис" и я позволил себе немного "вякнуть":-) для оживления дискуссии:-)

И еще. Всеже нетривиально "наматывающиеся" на тор траектории это классические траектории. А в конт. интеграле все траектории.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #364744 писал(а):

Тор, пожалуй, это всеже особый случай.

А по-моему не особый. Я изначально хотел привести пример какой-нибудь молекулы цилиндрической формы. Но наобум, не зная конкретики квантхимии, не хотелось, да и собственно тор есть наиболее очищенное и прозрачное выражение идеи. Нет соизмеримости - нет и периодичности.

Alex-Yu в сообщении #364744 писал(а):

И еще. Всеже нетривиально "наматывающиеся" на тор траектории это классические траектории. А в конт. интеграле все траектории.

Согласен. Но отклоняющиеся вправо-влево от классических гасят друг друга интерференцией (здесь же чистая квазиклассика).

Это я всё к тому, что мне кажется, предложенное вами условие периодичности неверное. (Мне оно напомнило правила квантования Бора-Зоммерфельда, как известно, отменённые в момент появления правильной квантовой механики.) А верное должно выглядеть как-то как условие инвариантности по отношению к бесконечно малому сдвигу по времени.

И ещё, я уверен, что ответ на вопрос топикстартера в явном виде прописан в Фейнмане-Хиббсе, но ленюсь лезть искать.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #364801 писал(а):

Это я всё к тому, что мне кажется, предложенное вами условие периодичности неверное. (Мне оно напомнило правила квантования Бора-Зоммерфельда, как известно, отменённые в момент появления правильной квантовой механики.) А верное должно выглядеть как-то как условие инвариантности по отношению к бесконечно малому сдвигу по времени.

И ещё, я уверен, что ответ на вопрос топикстартера в явном виде прописан в Фейнмане-Хиббсе, но ленюсь лезть искать.

Я вот тоже ленюсь вспоминать, а Фейнмана-Хиббса у меня вообще нет. Собственно я сам этими вопросами толком не занимался, но ими основательно занимался один мой хороший товарищ. Что-то он мне расказывал, не помню толком. Но вот упорно вертятся в голове замкнутые траектории. Не помню как они там появляются. Еще помню такую фамилию: Маслов. У Маслова есть очень основательная (и очень математическая)книжка, где такие вещи есть. Собственно одна из задач там это обоснование правил Бора-Зомерфельда, Маслов их выводит. Как приближение, конечно.

Хотя вообще-то один из тривиальных вариантов ответа я написал. Можно найти пропагатор через конт. интеграл а потом просто решить интегральное уравнение: через период времени функция должна превратиться сама в себя. Но, конечно, хотелось бы более явно в терминах интегрирования по траекториям.

[Munin]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #364917 писал(а):

а Фейнмана-Хиббса у меня вообще нет.

На Либмехмате есть, на Колхозе есть, да он везде есть.
http://lib.mexmat.ru/books/5160
http://lib.homelinux.org/_djvu/P_Physics/PQm_Quantum%20mechanics/PQmtb_Quantum%20mechanics%20textbooks/Fejnman%20R.,%20Xibs%20A.%20Kvantovaya%20mexanika%20i%20integraly%20po%20traektoriyam%20(ru)(T)(382s).djvu
http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%A5%D0%B8%D0%B1%D1%81&network=1
Да где его только нет. Одно жаль: там только лагранжев вариант рассказан, а в КТП везде используется гамильтонов.

Alex-Yu в сообщении #364917 писал(а):

Но вот упорно вертятся в голове замкнутые траектории. Не помню как они там появляются.

Я думаю, они вертятся в голове из-за Бора-Зоммерфельда. А появляются они, например, из названного мной критерия как частный случай.

[r1811]

Цитата:

И ещё, я уверен, что ответ на вопрос топикстартера в явном виде прописан в Фейнмане-Хиббсе, но ленюсь лезть искать.

Там вроде нету, я искал. Если я правильно понял, что имеет в виду Alex-Yu, то вроде бы эта идея верная - действительно, амплитуду перехода можно переписать через оператор эволюции и, в случае интегрирования по замкнутым
траекториям, у вас получится $K(x,x)=\sum\exp(-iE_nt)|\psi_n(x)|^2$. Это в случае дискретного спектра. В случае непрерывного, понятно, сумма заменится интегралом. Но вопрос немного не в этом. Я хотел понять, как модифицируется утверждение $\psi(x)=\int K(x,y)\psi(y)dy$ при условии, что это состояние является собственным состоянием энергии.