2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегралы по траекториям и собственные функции гамильтониана
Сообщение16.10.2010, 19:45 


16/10/10
2
Всем доброго времени суток. Не могу разобраться со следующей проблемой: как с помощью формализма функционального интеграла найти собственные функции оператора энергии? Уточню вопрос - всем известно, как определить волновую функцию в координатном представлении (как полную амплитуду перехода в данную точку). Если требуется, чтобы это состояние было собственным состоянием гамильтониана, что изменится ? Возможно, стоит наложить граничное условие, чтобы на каждой траектории, по которой происходит интегрирование, энергия в конечной точке имела бы определенное значение, т.е. считать амплитуду перехода из точки в точку при данном значении энергии? Сразу спрошу про попытку посчитать амплитуду перехода из точки х в точку х и далее разложить через оператор эволюции по собственным функциям энергии (см, например, "Инстантонная азбука") - в данном случае все ясно в случае дискретного спектра и не совсем ясно, что получится в случае вырожденного по энергии спектра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по траекториям и собственные функции гамильтониана
Сообщение22.10.2010, 09:39 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
r1811 в сообщении #362771 писал(а):
Не могу разобраться со следующей проблемой: как с помощью формализма функционального интеграла найти собственные функции оператора энергии? Уточню вопрос - всем известно, как определить волновую функцию в координатном представлении (как полную амплитуду перехода в данную точку). Если требуется, чтобы это состояние было собственным состоянием гамильтониана, что изменится ? Возможно, стоит наложить граничное условие, чтобы на каждой траектории, по которой происходит интегрирование, энергия в конечной точке имела бы определенное значение, т.е. считать амплитуду перехода из точки в точку при данном значении энергии?


Все намного проще: стационарным (с определенной энергией) состояниям соответствуют периодические траектории. Вот по множеству периодических (замкнутых) траекторий и интегрируйте. Можно найти уровни энергии и соответсвующие состояния. Суть в том, что мы рассматриваем период Т и находим
амлитуду $\psi(x)=\int G(x,x')\psi(x')dx'$ где $G(x,x')$ представляется континуальным интегралом. Не при любом Т получается именно так (волновая функция переходит в себя через время Т). Отсюда можно определить уровни энергии (т.е. Т). Особенно удобен такой прием в квазиклассическом случае. Вот примерно так, хотя детали я основательно подзабыл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по траекториям и собственные функции гамильтониана
Сообщение22.10.2010, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Возьмём тор (прямоугольник с периодическими г. у.) с иррациональным отношением сторон. Стационарные решения в нём - стоячие волны, являющиеся суперпозицией бегущих волн, волновой вектор которых кратен обратным длинам сторон. Соответствующие траектории, как я понимаю, не замкнуты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по траекториям и собственные функции гамильтониана
Сообщение22.10.2010, 13:53 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
Munin в сообщении #364695 писал(а):
Возьмём тор (прямоугольник с периодическими г. у.) с иррациональным отношением сторон. Стационарные решения в нём - стоячие волны, являющиеся суперпозицией бегущих волн, волновой вектор которых кратен обратным длинам сторон. Соответствующие траектории, как я понимаю, не замкнуты.


Тор, пожалуй, это всеже особый случай. Вообще квантовая механика на нетривиальных многообразиях имеет особенности. Даже на сфере уже есть ньюансы (в обычном формализме это проявляется в "патологических" свойствах операторов угловых координат, если не ошибаюсь, и у Пайерлса в "Сюрпризах в теорфизике" это отмечалось). Хотя я последний раз с этим возился лет так 20 назад и сейчас почти все уже забыл. Конечно, лучше бы если кто более близкий к этим проблемам прокоментировал бы. Вопрос-то интересный. Хотя и как-то слишком специальный. Но что-то вопрос "повис" и я позволил себе немного "вякнуть":-) для оживления дискуссии:-)

И еще. Всеже нетривиально "наматывающиеся" на тор траектории это классические траектории. А в конт. интеграле все траектории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по траекториям и собственные функции гамильтониана
Сообщение22.10.2010, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex-Yu в сообщении #364744 писал(а):
Тор, пожалуй, это всеже особый случай.

А по-моему не особый. Я изначально хотел привести пример какой-нибудь молекулы цилиндрической формы. Но наобум, не зная конкретики квантхимии, не хотелось, да и собственно тор есть наиболее очищенное и прозрачное выражение идеи. Нет соизмеримости - нет и периодичности.

Alex-Yu в сообщении #364744 писал(а):
И еще. Всеже нетривиально "наматывающиеся" на тор траектории это классические траектории. А в конт. интеграле все траектории.

Согласен. Но отклоняющиеся вправо-влево от классических гасят друг друга интерференцией (здесь же чистая квазиклассика).

Это я всё к тому, что мне кажется, предложенное вами условие периодичности неверное. (Мне оно напомнило правила квантования Бора-Зоммерфельда, как известно, отменённые в момент появления правильной квантовой механики.) А верное должно выглядеть как-то как условие инвариантности по отношению к бесконечно малому сдвигу по времени.

И ещё, я уверен, что ответ на вопрос топикстартера в явном виде прописан в Фейнмане-Хиббсе, но ленюсь лезть искать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по траекториям и собственные функции гамильтониана
Сообщение22.10.2010, 18:56 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
Munin в сообщении #364801 писал(а):
Это я всё к тому, что мне кажется, предложенное вами условие периодичности неверное. (Мне оно напомнило правила квантования Бора-Зоммерфельда, как известно, отменённые в момент появления правильной квантовой механики.) А верное должно выглядеть как-то как условие инвариантности по отношению к бесконечно малому сдвигу по времени.

И ещё, я уверен, что ответ на вопрос топикстартера в явном виде прописан в Фейнмане-Хиббсе, но ленюсь лезть искать.


Я вот тоже ленюсь вспоминать, а Фейнмана-Хиббса у меня вообще нет. Собственно я сам этими вопросами толком не занимался, но ими основательно занимался один мой хороший товарищ. Что-то он мне расказывал, не помню толком. Но вот упорно вертятся в голове замкнутые траектории. Не помню как они там появляются. Еще помню такую фамилию: Маслов. У Маслова есть очень основательная (и очень математическая)книжка, где такие вещи есть. Собственно одна из задач там это обоснование правил Бора-Зомерфельда, Маслов их выводит. Как приближение, конечно.

Хотя вообще-то один из тривиальных вариантов ответа я написал. Можно найти пропагатор через конт. интеграл а потом просто решить интегральное уравнение: через период времени функция должна превратиться сама в себя. Но, конечно, хотелось бы более явно в терминах интегрирования по траекториям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по траекториям и собственные функции гамильтониана
Сообщение22.10.2010, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #364917 писал(а):
а Фейнмана-Хиббса у меня вообще нет.

На Либмехмате есть, на Колхозе есть, да он везде есть.
http://lib.mexmat.ru/books/5160
http://lib.homelinux.org/_djvu/P_Physics/PQm_Quantum%20mechanics/PQmtb_Quantum%20mechanics%20textbooks/Fejnman%20R.,%20Xibs%20A.%20Kvantovaya%20mexanika%20i%20integraly%20po%20traektoriyam%20(ru)(T)(382s).djvu
http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%A5%D0%B8%D0%B1%D1%81&network=1
Да где его только нет. Одно жаль: там только лагранжев вариант рассказан, а в КТП везде используется гамильтонов.


Alex-Yu в сообщении #364917 писал(а):
Но вот упорно вертятся в голове замкнутые траектории. Не помню как они там появляются.

Я думаю, они вертятся в голове из-за Бора-Зоммерфельда. А появляются они, например, из названного мной критерия как частный случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегралы по траекториям и собственные функции гамильтониана
Сообщение27.10.2010, 21:16 


16/10/10
2
Цитата:
И ещё, я уверен, что ответ на вопрос топикстартера в явном виде прописан в Фейнмане-Хиббсе, но ленюсь лезть искать.

Там вроде нету, я искал. Если я правильно понял, что имеет в виду Alex-Yu, то вроде бы эта идея верная - действительно, амплитуду перехода можно переписать через оператор эволюции и, в случае интегрирования по замкнутым
траекториям, у вас получится $K(x,x)=\sum\exp(-iE_nt)|\psi_n(x)|^2$. Это в случае дискретного спектра. В случае непрерывного, понятно, сумма заменится интегралом. Но вопрос немного не в этом. Я хотел понять, как модифицируется утверждение $\psi(x)=\int K(x,y)\psi(y)dy$ при условии, что это состояние является собственным состоянием энергии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group