Доказательство несчетности Кантора и рациональные числа.

[Sneg0vik]

Здравствуйте!
Всем известено доказательство Кантора, что множество вещественных чисел несчетно. Предполагается, что все вещественные числа из указанного диапазона счетны, и строится новое вещественное число, отличное в n-ном разряде от числа под номером n, и, таким образом, неперечисленное. (Причем цифры 0 и 9 не используются.)
Так вот, а что, если подобный способ применить к рациональным числам? Они могут быть в виде конечных десятичных дробей, либо переодических. Построенное нами число, очевидно, имеет вид бесконечной дроби, тоесть нужно доказать, что полученная бесконечная дробь непереодична. Тогда, очевидно, это число иррациональное, а значит не входит в множетсво =>множество счетно. Подскажите возможные идеи доказательства.
Спасибо.

[ewert]

Sneg0vik в сообщении #364487 писал(а):

Построенное нами число, очевидно, имеет вид бесконечной дроби, тоесть нужно доказать, что полученная бесконечная дробь непереодична.

Ну она и не будет периодической -- по построению. И что нам это даст? Что существует хотя бы одно вещественное число, не являющееся рациональным?... -- так мы это и без того знаем.

Sneg0vik в сообщении #364487 писал(а):

а что, если подобный способ применить к рациональным числам?

Он неприменим в принципе. Дело в том, что вещественные числа -- это все вообще мыслимые десятичные дроби (с известной оговоркой). А рациональные -- очень, очень избранные. Поэтому натыкание на что-то, не входящее в них -- ровно ни о чём не говорит.

[Sneg0vik]

ewert в сообщении #364494 писал(а):

Ну она и не будет периодической -- по построению. И что нам это даст? Что существует хотя бы одно вещественное число, не являющееся рациональным?... -- так мы это и без того знаем.

А как по построению определить, что не будет периода, а может будет,может можно так подобрать числа что период найдется? Мне это не понятно. Доказать нужно, что подобный алгоритм даст, что множество рациональных чисел счетно.А доказать это просит преподаватель. Значит какой-то подход существует...

[ewert]

Sneg0vik в сообщении #364509 писал(а):

А как по построению определить, что не будет периода, а может будет,

Ну как это как. Мы предположили, что рациональные числа пронумерованы. И построили дробь, не относящуюся к рациональным. Следовательно, она и не периодична.

Sneg0vik в сообщении #364509 писал(а):

Доказать нужно, что подобный алгоритм даст, что множество рациональных чисел счетно.

Ну вот мы и доказали, что он ничего подобного не даст и в принципе дать не может. Поскольку начинается он со слов: "предположим, что мы их пронумеровали". Т.е. мы предполагаем, что множество рациональных чисел счётно. И теперь собираемся доказать, исходя из этого, что множество рациональных чисел счётно, да?...

[Sneg0vik]

ewert в сообщении #364514 писал(а):

Ну как это как. Мы предположили, что рациональные числа пронумерованы. И построили дробь, не относящуюся к рациональным. Следовательно, она и не периодична.

Как доказать, что полученная дробь не является рациональной, как доказать, что она не имеет периода? Может период все-таки будет?! А доказать, что множество рациональных чисел счетно, действительно, этим методом нельзя, тогда изменим цель, доказать что этот метод не опровергает счетность множества рац. чисел. Итого нужно доказать, что составленная нами дробь никогда не имеет периода! Вот чего я хочу добиться...

[Dan B-Yallay]

Допустим, полученное число имеет период. Тогда оно рационально и значит, пронумеровано в нашем списке....

Дальше самостоятельно.