Дифференциальное уравнение

[sa1ntdevil]

Помогите пожалуйста решить дифур:

$$\frac{x}{y'}+y=\sqrt{x^2+y^2}$$

Домножив на y' и разделив потом на x я преобразовал его к виду:

$$\frac{y}{x}y' - y'\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2} + 1=0$$

Потом как замена $ y = z(x)*x $. В итоге получилось:

$$z'x(z-\sqrt{1+z^2})+z^2-z\sqrt{1+z^2}=0$$

Подскажите как можно решать последнее уравнение.

[ewert]

Лучше всего -- никак. Лучше перевернуть производную и сделать замену $x(y)=z(y)\cdot y$. Уравнение окажется того же типа, естественно, но гораздо проще.

[Padawan]

Исходное уравнение принадлежит к типу однородных.

[sa1ntdevil]

Перевернул. Сделал замену.

$$z'zy+z^2-\sqrt{z^2+1}+1=0$$

А дальше как??

[ewert]

sa1ntdevil в сообщении #364467 писал(а):

Перевернул. Сделал замену.

Прошу прощения, я там невнимательно прочитал; так хуже.

Вертайте всё обратно. Только не забудьте вставить потерянную единичку. Тогда при делении всё сильно сократится.

[Imperator]

Разделите сначала обе части уравнения на $x.$ Затем сделайте замену $\frac{y}{x}=t(x).$
$y'=t'x+t$
Уравнение примет вид $t'x=\sqrt{t^2+1}.$

[ewert]

(Оффтоп)

Imperator в сообщении #364492 писал(а):

Затем сделайте замену $\frac{y}{x}=t(x).$

Во-первых, не на $t$. На что угодно (хоть на мягкий знак), но только не на $t$. Это буква довольно жёстко закреплена за независимой переменной, и в приличном обществе функции ею не обозначают.

Во-вторых: ну сколько можно подсовывать автору приём, которым он же сам с самого начала и пользуется?...

[venco]

sa1ntdevil в сообщении #364369 писал(а):

В итоге получилось:

$$z'x(z-\sqrt{1+z^2})+z^2-z\sqrt{1+z^2}=0$$

Подскажите как можно решать последнее уравнение.

Так ведь здесь уже можно разделить $z$ и $x$, и интегрировать отдельно. Или я чего-то не понимаю?
Кстати, Вы единицу потеряли, как уже было замечено.