Эллипс и окружности, касающиеся его

[_Student]

Доброй ночи всем!
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:
Найти расстояние между центрами окружностей минимального и максимального радиусов, соприкасающихся с эллипсом $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$
Задача на тему "элементы интегрального и дифференциального исчисления".
Я не могу понять, как будут расположены эти окружности, и почему одна не стянется в точку, а вторая не уйдёт в бесконечность.

[ИСН]

Подразумевается касание второго порядка. В этом смысле, например, окружность (как и большинство других кривых) вообще не может касаться прямой.

[ewert]

_Student в сообщении #363418 писал(а):

Я не могу понять, как будут расположены эти окружности,

Минимальная, естественно, будет вписана в эллипс на краю большой полуоси, а максимальная -- наоборот, маленькой. Т.е. центр максимальной тривиален (он находится в центре эллипса), а вот минимальной -- надо считать. Посчитайте радиус кривизны эллипса в точке его пересечения с большой полуосью.

[venco]

ewert в сообщении #363432 писал(а):

Т.е. центр максимальной тривиален (он находится в центре эллипса)

Э...

[vvvv]

venco в сообщении #363467 писал(а):

ewert в сообщении #363432 писал(а):

Т.е. центр максимальной тривиален (он находится в центре эллипса)

Э...

Действительно Э.....

[_Student]

А почему, действительно, центр максимальной окружности тривиален и находится в центре окружности?

[venco]

_Student в сообщении #363746 писал(а):

А почему, действительно, центр максимальной окружности тривиален и находится в центре окружности?

Я думаю, ewert ошибся.

[Алексей К.]

Вам надо найти максимальный и минимальный радиусы кривизны эллипса, и места, где они случаются ("очевидно", в точках пересечения эллипса осями). Так что там не только "элементы интегрального и дифференциального исчисления", но и немного дифф. геометрии. А потом всё вроде совсем просто.

[_Student]

Алексей К., а если записать в параметрической форме уравнение эллипса, то радиус кривизны считаются по вот этой формуле:

$$R=\frac{((x')^2+(y')^2)^{\frac32}}{|x'y''-x''y'|}?$$

[Алексей К.]

Да. Может, попроще будет искать минимум-максимум функции $R^2$, т.е. без модулей и радикалов.

_Student этого пока не писал(а):

А правильно ли параметрическое уравнение эллипса в виде $x=a\cos t,\quad y=b\sin t$?

Да, правильно.

[_Student]

Как выглядит параметрическое уравнение эллипса, я знаю : ) Спасибо большое за помощь! Задача решена.
Могли бы Вы подсказать по следующей задачи:
Сравните объёмы тел, образованных вращением площади петли кривой $x=t-t^2$ $y=t-t^3$ вокруг оси Ox в первом случае и вокруг оси Oy во втором случае. В предположении однородности получившихся тел (ρ = 1), вычислите координаты их центров масс.
Как вообще ищется объём тела, образованного площадью?

[ewert]

_Student в сообщении #364436 писал(а):

Как вообще ищется объём тела, образованного площадью?

Никак -- это оговорка.

Объём тела вращения считается по формуле $\int\limits_{t_1}^{t_2}\pi\,y^2(t)\,dx(t)$, если вращение вокруг оси иксов, ну и соотв. наоборот. Здесь $t_1,\ t_2$ -- значения параметра, отвечающие точке самопересечения. Всё это -- естественно, при условии, что петля не пересекает ось вращения (разве что касается), но в данном случае это именно так. Для нахождения центра масс -- добавить под интеграл соотв. множитель $x(t)$ или $y(t)$ (учитывая, что он заведомо на оси вращения). Оговорка ($\rho=1$) в условии тоже довольно нелепа.

Да, и ещё: интеграл может получиться как положительным, так и отрицательным (в зависимости от получающегося направления обхода петли). Лучще всего об этом вообще не задумываться, а просто взять его по модулю. Ну или подумать -- для контроля.

[_Student]

Погодите, ewert! Во-первых, кривая выглядит, как петля, поэтому это не оговорка, что вращают именно площадь. И какие тут $t_1$ и $t_2$? Во-вторых, оговорка $\rho=1$ совсем не нелепа, ведь центр масс считается по формулам:

$$x_0=\frac1M\iint \limits_{\Omega} {\rho x dx dy}$$

$$y_0=\frac1M\iint \limits_{\Omega} {\rho y dx dy},$$

$$M=\iint \limits_{\Omega} {\rho dx dy}.$$

Только эти формулы, вроде как, не для тел вращения. А для пластинок, которые на плоскости лежат. Но всё равно, я думаю, что $\rho=1$ --- это существенный момент.

[ewert]

_Student в сообщении #364445 писал(а):

Во-первых, кривая выглядит, как петля, поэтому это не оговорка, что вращают именно площадь.

Не площадь, а фигуру. Вот попробуйте-ка повращать 12 кв.см. Нет, попытаться-то можно, конечно...

_Student в сообщении #364445 писал(а):

совсем не нелепа, ведь центр масс считается по формулам:

Вот именно. И что произойдёт после деления?...

_Student в сообщении #364445 писал(а):

И какие тут $t_1$ и $t_2$?

Формально они ищутся как решение системы уравнений $x(t_1)=x(t_2)$ и $y(t_1)=y(t_2)$, т.е. как пара значений параметра, задающих одну и ту же точку. Практически же проще нарисовать график мысленно по точкам -- положение самопересечения вполне очевидно. Правда, это не вполне строго -- формально говоря, надо ещё доказывать, что других самопересечений нет.

[_Student]

Да, с площадью соглашусь. Фигуру вращают.

А что произойдет после деления?

Ааа, т.е. точки $t_1=0, t_2=1$ ?