Решение обыкнов.дифференц. уравнений в комплексной плоскости

[shwedka]

evgeniy в сообщении #363595 писал(а):

Выбирая произвольное изменение $y_k(t)$до любой точки, получим значение величины $x_n(t)$.

Бам остается доказать, что получающееся на этом пути
отображение $y\mapsto x$ глобально обратное к отображению
$x\mapsto y$.
По-другому, у ВАс нет, например, доказательства того, что из разных $y$ не может получиться при решении ДУодно и то же $x$.

[evgeniy]

Надо подумать, но уже поздно, теперь я появлюсь в пятницу.

[alekcey]

evgeniy в сообщении #363605 писал(а):

В чем ошибка...

Немного не так. Вы привели теорему о взаимно однозначном отображении. А это относится к локальному случаю именно из-за взаимной однозначности. Тут может быть глобальное решение, но через суперпозицию, когда не сами переменные являются функциями переменных, а все переменные есть функции такого инварианта, как длины дуг на поверхности. И нужно, думается, применять не эту теорему, а родственную, о существовании решения системы уравнений… при этом тот самый определитель даже может быть равен нулю…

[shwedka]

Имеется классическая теорема Адамара-Пластрока,

см, J. Hadamard. Sur les Transformations Ponctuelles. Bull. Soc. Math. France,
34:71–84, 1906
изложение есть в
M. Berger, Nonlinearity and Functional Analysis, Pure and Applied Mathematics, no. 74, Academic Press, New York, 1977.
L. Nirenberg, Topics in Nonlinear Functional Analysis, Courant lecture
notes in mathematics, no. 6, 2001,

P. J. Rabier, On Global Diffeomorphisms of Euclidean Space, Nonlinear Anal. 21 (1993), no. 12,
925-974.
о необходимых и достаточных условиях глобальной обратимости при наличии локальной обратимости. Обратимости якобиана недостаточно!

[evgeniy]

Shwedka, большое спасибо за список литературы, но к сожалению он мне не доступен. Читаю только по английски и ленюсь сходить в библиотеку в Санкт-Петербурге. Я не понимаю, какая у меня ошибка. Могу привести другое доказательство, но там требуются несколько другие условия. Там не определитель матрицы Якоби равен нулю, а несколько другой определитель. Грубо говоря, ищутся корни правой части прямого преобразования.
$y_l=y_l(a_1,...,a_N)=0$
Представляем преобразование в виде
$y_l=A_{lk}(x_1,...,x_N,a_1,...,a_N)(x_k-a_k)$
$A_{lk}=\frac{\partial y_l}{\partial x_k}(a_1,...,a_N)+\frac{\partial^2 y_l}{\partial x_k \partial x_n}(a_1,...,a_N)(x_n-a_n)+...$
где соответствие глобальное, если определитель матрицы $A_{lk}$ не равен нулю.

evgeniy в сообщении #363699 писал(а):

Вы привели теорему о взаимно однозначном отображении. А это относится к локальному случаю именно из-за взаимной однозначности.

Не понимаю, почему относится к локальному случаю, именно из-за своей однозначности. Я доказываю, что по координатам обратного преобразования, определяется прямое с помощью решения дифференциального уравнения. ПРичем координаты обратного преобразования произвольны, а прямого, что получится, т.е. обратное преобразование глобально. Поясните пожалуйста ваши идеи более подробно. Что Вы думаете, о списке, предложенном Shwedkoy и есть ли русские аналоги.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #364952 писал(а):

но к сожалению он мне не доступен. Читаю только по английски и ленюсь сходить в библиотеку в Санкт-Петербурге.

Недоступность по лености-- веская причина.

evgeniy в сообщении #364952 писал(а):

Грубо говоря

Слишком грубо. Повторяю, Вы тщитесь доказать неверное утверждение.

evgeniy в сообщении #364952 писал(а):

Я не понимаю, какая у меня ошибка.

shwedka в сообщении #363698 писал(а):

По-другому, у ВАс нет, например, доказательства того, что из разных $y$ не может получиться при решении ДУодно и то же $x$.

То есть, ошибка в отсутствии доказательства.

[evgeniy]

Дело в том, что локальное решение по моему алгоритму совпадает с глобальным. В локальном решении решается задача нахождения $x_l$ по величине $y_n$ в окрестности точки $x_l^0,l=1,...,N$
$x_l-x_l^0=\sum_n (\frac{\partial y_n}{\partial x_l})^{-1}(x_1^0,...,x_N^0)(y_n-y_n^0)$
Эта задача совпадает с решением дифференциального уравнения по определению обратной функции, и поэтому решения локально совпадают с точностью $0(h^2)$. Этого достаточно, чтобы говорить, что локальное и глобальное решение совпадает. В силу единственности локального решения и глобальное решение единственно.
Да shwedka я наверно все же схожу в библиотеку, и почитаю литературу, которую Вы рекомендовали. Во- первых хочется быть на уровне, а во-вторых просто интересно. Еще мне нравится, что литература соответствует настоящему моменту времени, значит правильно угаданы проблемные точки.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #365171 писал(а):

Дело в том, что локальное решение по моему алгоритму совпадает с глобальным.

Не имеет никакого смысла, пока существование глобального решения не доказано. Если известно, что оно есть, то, конечно, оно совпадает с локальным.

evgeniy в сообщении #365171 писал(а):

все же схожу в библиотеку, и почитаю литературу,

для начала погуглиtе Hadamard-Plastock Theorem или по-русски.
см. также
R. Plastock, Homeomorphisms between Banach spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 200 (1974), 169–183.

[evgeniy]

Решение с помощью дифференциального уравнения доказывает существование решения, а глобальная единственность обратной задачи доказывается совпадением с локальным решением.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #365178 писал(а):

Решение с помощью дифференциального уравнения доказывает существование решения,

Не доказывает.
У ВАс нет, доказательства того, что из разных $y$ не может получиться при решении ДУодно и то же $x$.
Если Вы считаете, что оно есть, процитируйте.

[evgeniy]

evgeniy в сообщении #365178 писал(а):

У ВАс нет, доказательства того, что из разных y не может получиться при решении ДУодно и то же x.

Действительно для каждого у существует некоторое x, причем из разных y определится значения x, которые могут совпасть. Но чтобы не совпали, надо доказать теорему единственности значений x, а его существование доказано с помощью решения нелинейного дифференциального уравнения. Раз вычисляется из решения дифференциального уравнения, значит существует. Единственность я доказал с помощью совпадающей аппроксимации решения ДУ и схемы доказательства локальной теоремы.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #365290 писал(а):

Но чтобы не совпали, надо доказать теорему единственности значений x

Надо. Докажите. Но в Вашей постановке

Цитата:

Продифференцируем уравнение (1), получим
$\frac{dy_k}{dt}=\sum_n\frac{\partial y_k}{\partial x_n}\frac{dx_n}{dt}$
В силу не равенства нулю определителя этой системы уравнений получим
$\frac{dx_n}{dt}=\sum_k(\frac{\partial y_k}{\partial x_n})^{-1}\frac{dy_k}{dt}=\sum_n\frac{\partial x_n}{\partial y_k}\frac{dy_k}{dt} (*)$
где обратная матрица получена из локальной теоремы. Выбирая произвольное изменение $y_k(t)$до любой точки, получим значение величины $x_n(t)$.

Вот и докажите., что по - Вашему, при 'произвольных изменениях'
к одной точке и $y$ к другой точке $y'$ и интегрировании вдоль этих путей Вы получите РАЗНЫЕ $x$.

И не стоит ссылаться на теорему единственности для решений ду. Для РАЗНЫХ путей у Вас получаются РАЗНЫЕ уравнения (*).

И еще раз повторяю. Вы пытетесь доказать утверждение о глобальной обратимости, про которое уже больше 100 лет известно, что оно неверно!

[evgeniy]

Вопрос, теорему существования значения x, определяемого по величине y я доказал или нет, я не понял, как вы считаете.
Кроме доказательства 100 летней давности, у меня есть такой аргумент, что находятся же глобальные решения на практике. А вообще, мне не остается ничего, кроме как посмотреть литературу.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #365300 писал(а):

теорему существования значения x, определяемого по величине y я доказал или нет

Вас губит отсутствие единствености!
Но и с существованием не так просто...
Вот, возьмите одномерный пример
$y=\arctan(x)$
Постройте Вашим методом $x$, отвечающий $y=10$!

А вот вам пример неединственности. Отображение, для простоты восприятия, строится как суперпозиция двух,
$(z_1,z_2)=(x_1, 5+\arctan(x_2))$
$(y_1,y_2)=(z_2 \cos(z_1), z_2\sin(z_1)) $

То есть, первое отображает плоскость на полосу,
а второе закручивает полосy многолистно на кольцо.
Определитель композиции не ноль. Ho необратимо!
А условие Адамара-Пластока
нарушено, конечно!

[evgeniy]

Что значит y=(x), что означает скобка, это целая часть или еще что-то.
Кроме того я не знаю условия Адамара-Пластока, поделитесь.
Доказав теорему существования, можно и теорему единственности доказать с помощью идеологии использования локальной теоремы. Хотя Вы против, я опять не вижу препятствий, для доказательства теоремы единственности с помощью совпадения локального и глобального решения. Но о единственности поговорим потом, давайте обсудим условие существования обратной функции, которое доказывается с помощью решения дифференциального уравнения.
Но у Вас есть мощный козырь, Вы знаете, когда можно построить с помощью теоремы Адамара-Пластока глобальное отображение, а я не знаю. Поэтому Вы и не согласны с моим доказательством, оно по видимому не совпадает с теоремой о глобальном отображении.