Торы как прямые произведения

[Fagot]

paha в сообщении #361193 писал(а):

уже пишите правильно, мочи нет читать про четные сферы

больше не буду, простите, дело было вечером.

paha в сообщении #361011 писал(а):

Слово граница имеет четкое значение и имеет смысл только тогда, когда есть объемлющее пространство. Для того что Вы имеете ввиду, зарезервирован термин край.

Понятно. Интересно, однако, что в очередях слово край употребляется как раз в противоположном смысле, предполагающем отсутствие конца (крайний, значит, не последний, есть продолжение).

[paha]

Fagot в сообщении #361211 писал(а):

Этим же свойством, в виду равенства нулю их эйлеровой характеристики, обладают все торы любой размерности

Торы обладают более сильным свойством: они параллелизуемы. А из сфер параллелизуемы только $S^1$, $S^3$ и $S^7$.

Fagot в сообщении #361211 писал(а):

тороидальный ёж, скажем, причесывается благодаря наличию двух классов петель, не стягиваемых в точку

Чушь))) есть сколько угодно односвязных (без нестягиваемых петель) многообразий, на которых существует не обращающееся в ноль векторное поле

Fagot в сообщении #361211 писал(а):

которые возникают благодаря наличию у данного тора дырки в трехмерном пространстве, в которое он вложен (она видна невооруженным глазом, корректное же и универсальное определение её это, наверно, задача для квалифицированных специалистов)

Я так и не понимаю, что Вы имеете ввиду под "дыркой"... Если тор $T^2$ рассмотреть как подмножество в $\mathbb{R}^4$:

$$ \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:\,x^2+y^2=1,\,z^2+t^2=1\}, $$

то никаких "дырок" Вы там не найдете... А ведь мы говорим о свойствах тора, а не его вложения куда-то. Так что и "дырки" в $T^2$ никакой нет, есть она только при вложении $T^2\subset\mathbb{R}^3$.

Так что попытайтесь хоть как-то сформулировать определение "дырки".

Fagot в сообщении #361211 писал(а):

С другой стороны, у четномерных сфер, в виду их односвязности, дырка отсутствует, эйлерова характеристика равна двойке, и поэтому они не допускают существование векторных полей без особенностей

достаточно упомянуть неравенство нулю эйлеровой характеристики


Еще раз скажу: имея в качестве инструмента только эйлерову характеристику, в размерностях выше 2 делать практически нечего

[Fagot]

paha в сообщении #361236 писал(а):

Торы обладают более сильным свойством: они параллелизуемы. А из сфер параллелизуемы только $S^1$, $S^3$ и $S^7$.

Вам не кажется, что этим Вы лишь поставляете ещё один аргумент в пользу необычности нечетномерных сфер не очень больших размерностей : $S^1=T^1$, $S^3= ...$.

paha в сообщении #361236 писал(а):

Если тор $T^2$ рассмотреть как подмножество в $\mathbb{R}^4$:

$$ \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:\,x^2+y^2=1,\,z^2+t^2=1\}, $$

то никаких "дырок" Вы там не найдете... А ведь мы говорим о свойствах тора, а не его вложения куда-то. Так что и "дырки" в $T^2$ никакой нет, есть она только при вложении $T^2\subset\mathbb{R}^3$.

Можно высказать такое соображение : из того, что "дырка" может стать "незаметной" (либо вообще "исчезнуть") в пространстве вложения более высокой размерности, наверно, не означает, что её нет, либо что она не является собственной характеристикой тора ... Ведь, повышая размерность пространства вложения и правильно выбирая его "измерения", можно вообще любой объект превратить в точку...

Разве существования в компактном замкнутом многообразии нестягиваемых петель недостаточно, чтобы внутренне убедиться в непростоте его топологический свойств? (про дырку лучше, после Ваших разъяснений, помолчу).

-- Вт окт 12, 2010 13:22:28 --

paha в сообщении #361236 писал(а):

есть сколько угодно односвязных (без нестягиваемых петель) многообразий, на которых существует не обращающееся в ноль векторное поле

Они - компактные замкнутые?

[Munin]

"Все нечётные числа - простые. Проверяем: 3, 5, 7... 9 - исключение, отбрасываем... 11, 13..."

[paha]

Fagot в сообщении #361253 писал(а):

"дырка" может стать "незаметной" (либо вообще "исчезнуть") в пространстве вложения более высокой размерности, наверно, не означает, что её нет

означает, что это не свойство тора, а свойство вложения

Fagot в сообщении #361253 писал(а):

можно вообще любой объект превратить в точку

нельзя... хоть и непонятно, что такое "превратить", мы же не в Хогвардсе

Fagot в сообщении #361253 писал(а):

чтобы внутренне убедиться в непростоте его топологический свойств?

топологические свойства не делятся на простые и непростые, кроме как для восприятия. Например: $L$-род определяется (в учебниках) не проще, чем эйлерова характеристика... Кстати, с точки зрения гомотопических свойств, окружность $S^1$ (неодносвязная) гораздо проще, чем $S^2$ (без нестягиваемых петель)

Fagot в сообщении #361253 писал(а):

Они - компактные замкнутые?

да

[Fagot]

paha в сообщении #361304 писал(а):

нельзя... хоть и непонятно, что такое "превратить", мы же не в Хогвардсе

Это известное как раз на Гриффиндоре преобразование, превращающее любой объект в точку. Если взять любое множество, каждый элемент которого описывается множеством параметров, каждый из которых принимает множество значений, и принять это множество параметров в качестве координат образуемого ими пространства, то в нем все исходное множество отобразится в точку.

-- Вт окт 12, 2010 19:51:13 --

paha в сообщении #361304 писал(а):

да

Так ли это, что существуют компактные замкнутые односвязные многообразия (в которых все петли стягиваемые), в которых эйлерова характеристика равна нулю, и поэтому на них возможно непрерывное векторное поле?

[paha]

Fagot в сообщении #361362 писал(а):

Если взять любое множество, каждый элемент которого описывается множеством параметров, каждый из которых принимает множество значений, и принять это множество параметров в качестве координат образуемого ими пространства, то в нем все исходное множество отобразится в точку.

ничего не понял

Fagot в сообщении #361362 писал(а):

существуют компактные замкнутые односвязные многообразия (в которых все петли стягиваемые), в которых эйлерова характеристика равна нулю, и поэтому на них возможно непрерывное векторное поле?

Yes it is

[Fagot]

paha в сообщении #361398 писал(а):

ничего не понял

Простой пример. Есть два элемента, каждый из которых описывается одним параметром. Тогда каждый из них представим точкой в одномерном пространстве значений своих параметров. Перейдем в двумерное пространство, осями координат которого будут эти одномерные пространства. В нем множество из двух точек станет одной точкой.

-- Вт окт 12, 2010 21:39:37 --

paha в сообщении #361398 писал(а):

Yes it is

К ним относятся нечетномерные сферы при $n\ge 3$?

[paha]

Fagot в сообщении #361253 писал(а):

Можно высказать такое соображение : из того, что "дырка" может стать "незаметной" (либо вообще "исчезнуть") в пространстве вложения более высокой размерности, наверно, не означает, что её нет

еще раз: означает, что ее нет

Fagot в сообщении #361430 писал(а):

К ним относятся нечетномерные сферы при $n\ge 3$?

разумеется

[Fagot]

paha в сообщении #361450 писал(а):

еще раз: означает, что ее нет

Что Вы скажете на возражение в виде наглядного примера, что в пространстве большего числа измерений может исчезнуть всё (сохраняя информацию об исчезнувшем в подпространствах)?

[paha]

Fagot в сообщении #361454 писал(а):

Что Вы скажете на возражение в виде наглядного примера, что в пространстве большего числа измерений может исчезнуть всё (сохраняя информацию об исчезнувшем в подпространствах)?

скажу, что это не возражение, а чушь. Либо формулируйте мысли точнее, либо задавайте вопросы о деле.

На мою фразу

paha в сообщении #361236 писал(а):

Если тор $T^2$ рассмотреть как подмножество в $\mathbb{R}^4$:

$$ \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:\,x^2+y^2=1,\,z^2+t^2=1\}, $$

то никаких "дырок" Вы там не найдете... А ведь мы говорим о свойствах тора, а не его вложения куда-то. Так что и "дырки" в $T^2$ никакой нет, есть она только при вложении $T^2\subset\mathbb{R}^3$.

Вы заявили, что [quote="Fagot в [url=http://dxdy.ru/post361253.html#p361253]сообщении
#361253[/url]"] повышая размерность пространства вложения и правильно выбирая его "измерения", можно вообще любой объект превратить в точку...[/quote]


если мы имеем дело с вложением -- то все свойства тора остаются при нем хоть там сколько измерений и хоть какое там вложение

[Fagot]

paha в сообщении #361474 писал(а):

А ведь мы говорим о свойствах тора, а не его вложения куда-то. Так что и "дырки" в $T^2$ никакой нет, есть она только при вложении $T^2\subset\mathbb{R}^3$.

Да, конечно, в самом торе дырки нет, это, действительно, некорректно - она объект вложения в $\mathbb{R}^3$. Но хотелось бы сказать, что она так же реальна, как и её отсутствие, по приведённым Вами соображениям, при в вложении в $\mathbb{R}^4$. В таком случае слова "все свойства тора остаются при нём" - нельзя ли Вас попросить прокомментировать? В смысле их независимости от представлений... Можно ли определить как саму $S^1$, так и прямое произведение $T^2=S^1\times S^1$ без обращения к каким-то представлениям? Исходное $\mathbb{R}^n$ на которое и из которого допускается гомеоморфизм - это представление или нет? Например, как выяснилось, если я правильно опять же понял, что реализовать прямое произведение $S^1\times S^1$ можно лишь при $n\ge 3$, а прямое произведение $T^2\times S^1$ - при $n\ge 4$ :

Munin в сообщении #361053 писал(а):

Вам надо выйти в четырёхмерное пространство, там будет заметание без самопересечения и самоналожения.

[paha]

Fagot в сообщении #361487 писал(а):

Например, как выяснилось, если я правильно опять же понял, что реализовать прямое произведение $S^1\times S^1$ можно лишь при $n\ge 3$, а прямое произведение $T^2\times S^1$ - при $n\ge 4$ :

не "реализовать прямое произведение", а построить вложение $T^n\to\mathbb{R}^{N}$

есть целая наука о том, какие $n$-мерные многообразия вкладываются в $\mathbb{R}^N$ при конкретных $N$ и $n$. Мне достаточно того, что это всегда можно сделать при $N=2n+1$ (теорема Уитни).

Fagot в сообщении #361487 писал(а):

Можно ли определить как саму $S^1$, так и прямое произведение $T^2=S^1\times S^1$ без обращения к каким-то представлениям?

можно -- с помощью атласов... или клеточным разбиением, или симплициальным

-- Ср окт 13, 2010 00:49:30 --

(Оффтоп)

Fagot в сообщении #361487 писал(а):

она так же реальна, как и её отсутствие

это что-то из дзен-буддизма

[Fagot]

paha в сообщении #361489 писал(а):

можно -- с помощью атласов... или клеточным разбиением, или симплициальным

Спасибо.

(Оффтоп)

Как-нибудь, если Вам будет любопытно, можно попробовать показать, что реальность и её отсутствие не противоречивые высказывания, более того, это может оказаться одним и тем же.

[Fagot]

Позвольте предложить Вам детское доказательство (?) неодносвязности 3-сферы.

1) Сфера $S^1$ - край шара $B^2$ - неодносвязна.

$B^2 = (x_i\in \mathbb{R}^2 : x_1^2+x_2^2\le R_2^2)$.

$S^1=\partial B^2 = (x_i\in \mathbb{R}^2 : x_1^2+x_2^2=R_2^2)$.

В пространстве вложения $\mathbb{R}^3 : B^2, S^1\subset \mathbb{R}^3$ сформируем шар

$B^3 = (x_i\in \mathbb{R}^3 : x_1^2+x_2^2+x_3^2\le R_3^2)$.

Этот шар при условии $R_3< R_2$ проваливается сквозь сферу $S^1$, не сталкиваясь с ней и не касаясь её. Это видно из того, что алгебраическая система уравнений и неравенств :

$$ \left \{ \begin{matrix} x_1^2+x_2^2=R_2^2\\ x_1^2+x_2^2+x_3^2\le R_3^2\\ R_3<R_2\\ \end{matrix} $$

не имеет решений. Следовательно, при вложении сферы $S^1$ в пространство $\mathbb{R}^3$ появляется дырка, сквозь которую свободно пролетает шар $S^3$ радиуса, меньшего, чем радиус одномерной сферы.

2) Исходя из предположения, что эти свойства одномерной сферы - неодносвязного края двумерного шара - наследуются в соответствующих многообразиях старших размерностей, покажем, что и трёхмерная сфера $S^3$ - неодносвязна :

$B^4 = (x_i\in \mathbb{R}^4 : x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\le R_4^2)$.

$S^3=\partial B^4 = (x_i\in \mathbb{R}^4 : x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=R_4^2)$.

В пространстве вложения $\mathbb{R}^5 : B^4, S^3\subset \mathbb{R}^5$ сформируем шар

$B^5 = (x_i\subset \mathbb{R}^5 : x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2\le R_5^2)$.

Этот шар при условии $R_5< R_4$ проваливается сквозь сферу $S^3$, не сталкиваясь с ней и не касаясь её. Это видно из того, что алгебраическая система уравнений и неравенств :

$$ \left \{ \begin{matrix} x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=R_4^2\\ x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2\le R_5^2\\ R_5< R_4\\ \end{matrix} $$

не имеет решений. Следовательно, при вложении сферы $S^3$ в пространство $\mathbb{R}^5$ появляется дырка, сквозь которую свободно пролетает шар $S^5$ радиуса, меньшего, чем радиус трёхмерной сферы.