последовательность случайных величин, максимумы

[mfz]

Имеется последовательность НОР случайных величин $(X_n)$, принимающих неотрицательные значения с непрерывной функцией распределения. Рассматривается последовательность $(Y_k)$, где

$$Y_0=1, Y_k=\inf(n \geq Y_{k-1} : X_n \geq \max(X_{n-1}, \ldots, X_0))$$

(т.е. фактический $Y_k$ - это номер $k-$ого максимума из последовательности $(X_n)$).
Надо найти $P(Y_{k+1}=i \, | \, Y_k=j).$

Мне кажется, что, учитывая независимость, должно получиться так:

$$P(Y_{k+1}=i \, | \, Y_k=j)=P(X_{j+1}<X_j, \ldots, X_{i-1}<X_j, X_i \geq X_j)=P(X_{j+1}<X_j) \ldots P( X_{i-1}<X_j) P( X_i \geq X_j)=(\frac{1}{2})^{i-j}.$$

Верно ли это? А то сейчас стал сомневаться - должна ли она зависеть от $k$ и вообще верно ли написал.
Заранее спасибо

[--mS--]

Равенство

$$\mathsf P(X_{j+1}<X_j, \ldots, X_{i-1}<X_j, X_i \geq X_j)=\mathsf P(X_{j+1}<X_j) \ldots \mathsf P( X_{i-1}<X_j) \mathsf P( X_i \geq X_j)$$

не может быть верным для невырожденного распределения иксов: Вы переменожаете вероятности зависимых событий.

См. сводку результатов про рекорды в статье В.Б.Невзорова: в частности, теорема 4.2.

[mfz]

Спасибо большое, очень информативно. Но, к сожалению, в этой статье не приводится доказательств. Может Вы бы могли указать на какой-нибудь источник с изложением доказательств? (сам что-то не могу никак найти)

[--mS--]

http://gen.lib.rus.ec/search?req=Renyi+Selected+papers&nametype=orig, 45-я страница файла.

[mfz]

Спасибо большое. Очень помогло.

И еще один маленький вопрос. Правильно ли пониманию, что при тех же условиях, но с дискретным распределением случайных величин $X_n$

$$P(X_{\mathcal{R}_{k+1}}=i | X_{\mathcal{R}_{k}}=j) = P( X_{\mathcal{R}_{k}+1}=i)(1 + P( X_{\mathcal{R}_{k}+1}<j) + (P( X_{\mathcal{R}_{k}+1}=j))^2 + \ldots)=P( X_{\mathcal{R}_{k}+1}}=i) \cdot \frac{1}{1-P( X_{\mathcal{R}_{k}+1}<j)}=\frac{P(X_1 = i)}{ P(X_1 \geq j)}$$

[--mS--]

Странно выглядит уже первое же равенство, в котором нет никакого знаменателя в правой части. Кто такое здесь $\mathcal R_k$?

[mfz]

Тьфу, там не $\mathcal{R}_k$ должно быть, а $Y_k$ - перепутал обозначения. Проще говоря, $X_{Y_k}$ - значение$k-$ого рекорда, $ X_{Y_k+1}$ - значение следующего элемента первоначальной последовательности. Должно быть так

$$P(X_{Y_{k+1}}=i | X_{Y_k}=j) = P( X_{Y_k+1}=i)(1 + P( X_{Y_k+1}<j) + (P( X_{Y_k+1}=j))^2 + \ldots)=P( X_{Y_k+1}}=i) \cdot \frac{1}{1-P( X_{Y_k+1}<j)}=\frac{P(X_1 = i)}{ P(X_1 \geq j)}$$

[--mS--]

Есть подозрение, что в правой части первого равенства опечаток больше, чем букв.

[mfz]

ну вроде как только одну нашел, должно быть так

$$P(X_{Y_{k+1}}=i | X_{Y_k}=j) = P( X_{Y_k+1}=i)(1 + P( X_{Y_k+1}<j) + (P( X_{Y_k+1}<j))^2 + \ldots)=P( X_{Y_k+1}}=i) \cdot \frac{1}{1-P( X_{Y_k+1}<j)}=\frac{P(X_1 = i)}{ P(X_1 \geq j)}$$

то есть, если про некоторый рекорд нам известно, что он равен $j$, то вероятность того, что следующий рекорд равен $i$ - есть объединение не пересекающихся событий

$$ (X_{Y_k+1}=i), ( X_{Y_k+1}<j \cup X_{Y_k+2}=i), ( X_{Y_k+1}<j \cup X_{Y_k+2}<j \cup X_{Y_k+3}=i), \ldots \mbox{ и тд.}$$

далее пользуемся независимостью событий $X_k$ и формулой для суммы геометр.прогрессии

[--mS--]

mfz в сообщении #361092 писал(а):

то есть, если про некоторый рекорд нам известно, что он равен $j$, то вероятность того, что следующий рекорд равен $i$ - есть объединение не пересекающихся событий

$$ (X_{Y_k+1}=i), ( X_{Y_k+1}<j \cup X_{Y_k+2}=i), ( X_{Y_k+1}<j \cup X_{Y_k+2}<j \cup X_{Y_k+3}=i), \ldots \mbox{ и тд.}$$

далее пользуемся независимостью событий $X_k$ и формулой для суммы геометр.прогрессии

Наверное, имеется в виду $ ( X_{Y_k+1}<j \cap X_{Y_k+2}=i)$ и т.п.? Здесь нет никаких независимых событий. События, которые в этом пересечении участвуют, очень сильно зависимы.

[mfz]

Да, извиняюсь за опечатку.
Ну ведь по условию случайные величины $(X_n)_{n\geq 0}$ - независимы, одинаково распределены (см. первый пост). Значит, для любого j и любых A, B

$$P(X_j \in A, X_{j+1} \in B) = P(X_j \in A) P(X_j \in B)$$

В часности,

$$P( X_{Y_k+1}<j, X_{Y_k+2}=i) = P( X_{Y_k+1}<j) P(X_{Y_k+2}=i)=P(X_1<j)P(X_1=i).$$

[--mS--]

mfz в сообщении #361161 писал(а):

Ну ведь по условию случайные величины $(X_n)_{n\geq 0}$ - независимы, одинаково распределены (см. первый пост). Значит, для любого j и любых A, B

$$P(X_j \in A, X_{j+1} \in B) = P(X_j \in A) P(X_j \in B)$$

Это - да.

mfz в сообщении #361161 писал(а):

В часности,

$$P( X_{Y_k+1}<j, X_{Y_k+2}=i) = P( X_{Y_k+1}<j) P(X_{Y_k+2}=i)=P(X_1<j)P(X_1=i).$$

А это - нет. Ни первое равенство, ни второе. Распределение "рекордных" значений совсем иное, чем у величин в последовательности. И совместное в том числе.

[mfz]

--mS-- в сообщении #361167 писал(а):

Распределение "рекордных" значений совсем иное, чем у величин в последовательности. И совместное в том числе.

Ну так мы рассматриваем НЕ распределение "рекордной" величины, а просто какой-то величины, идущей в последовательности за "рекордной". Как же ее распределение может отличаться от распределения $X_1$ ?!

Если я опять-таки не прав, объясните, пожалуйста, как правильно решать, потому что пересмотрев всю соответствующую литературу, я не нашел "информации наталкивающей на размышления".
Заранее спасибо.

[--mS--]

mfz в сообщении #361188 писал(а):

Ну так мы рассматриваем НЕ распределение "рекордной" величины, а просто какой-то величины, идущей в последовательности за "рекордной". Как же ее распределение может отличаться от распределения $X_1$ ?!

О! Это я просто не уловила момента, когда "$+1$" и т.п. из индексов игреков перешагнули в индексы иксов :) Прошу прощения. Да, очень похоже в таком случае на правду. Но для верности стоит поискать готовых результатов и сравнить.

[mfz]

Спасибо.