Базис

[dmitryf]

Простейший вопрос про базис. Допустим имеется система векторов, после записи ее в матричном виде и приведения к верхне-треугольному виду считается, что базу образуют столбцы в которых стоят "лидеры" строки (первые ненулевые элементы).

Допустим есть система векторов:
a = (4, -1, 3, -2)
b = (8, -2, 6, -4)
c = (3, -1, 4, -2)
d = (6, -2, 8, -4)
В результате получилась матрица:
$\left( \begin{array}{cccc} -1 & -2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$

Здесь в качестве базиса можно взять столбцы 1,3,4 или 2,3,4, да? Т.е. не обязательно те, где лидеры строк?

Если требуется найти все базисы системы, то на сколько я понял это все линейные комбинации из вышеуказанных векторов (1,3,4 и 2,3,4) ? Как это правильно записать?

А в каком случае система векторов обладает единственным базисом?

Спасибо

[mihailm]

dmitryf в сообщении #361152 писал(а):

А в каком случае система векторов обладает единственным базисом?

похоже что никогда, за исключением тривиальных случаев

[ewert]

dmitryf в сообщении #361152 писал(а):

А в каком случае система векторов обладает единственным базисом?

Никогда.

Во-первых, слово "базис" вообще не применимо к "системе векторов". Только к линейным пространствам (вот, например, к линейной оболочке тех векторов).

Во-вторых, базисов всегда бесконечно много.

[VAL]

ewert в сообщении #361184 писал(а):

[...] базисов всегда бесконечно много.

Так уж и всегда?
А если взять конечномерное пространство над конечным полем?

[dmitryf]

ewert в сообщении #361184 писал(а):

dmitryf в сообщении #361152 писал(а):

А в каком случае система векторов обладает единственным базисом?

Во-первых, слово "базис" вообще не применимо к "системе векторов". Только к линейным пространствам (вот, например, к линейной оболочке тех векторов).

Скажите это Кострикину. :) Этот вопрос навеян задачей 6.10 и 6.11 из его задачника.

[gris]

У Кострикина в учебниках говорится не о базисе системы векторов, а о максимальной линейно независимой подсистеме, которую в задачнике он таки называет базисом.
То есть в эту подсистему входят только векторы системы.

В системе может быть несколько максимальных линейно независимых подсистем, они содержат одинаковое количество векторов.

При решении матричным способом надо координаты векторов записать в столбцы матрицы, привести её к ступенчатому виду операциями со строками и выбирать по одному вектору из каждой ступеньки (имея в виду номер столбца первоначальной матрицы). Вот те, исходные, векторы и будут составлять базис системы. Вот только матрицу привести к ступенчатому виду можно по-разному.


Ответ на второй вопрос связан с рангом матрицы.