Торы как прямые произведения

[Fagot]

1. Пусть точка это $B^0$. Рассмотрим фигуры, являющиеся прямым произведением сферы $S^1$ на торы и шары $(n-1)$ - размерности $(n\ge 1)$ :

$T^n=T^{n-1}\times S^1$, $\dot{T}^n=B^{n-1}\times S^1$.

Имеем такую последовательность :

$T^1=S^1=\dot {T}^1$ - окружность,
$T^2=T^1\times S^1$ - поверхность бублика, $\dot {T}^2=B^1\times S^1$ - плоское кольцо,
$T^3=T^2\times S^1$ - полноторий с вырезанным полноторием внутри, $\dot {T}^3=B^2\times S^1$ - полноторий.

Вопрос : является ли $T^3$ прямым произведением?

2. Пусть $S^0$ - двоеточие. Рассмотрим границы шаров $(n\ge 1)$ :

$\partial B^1=S^0$ - граница 1-шара, то есть отрезка, 0-сфера, то есть - двоеточие,
$\partial B^2=T^1=S^1=\dot{T^1}$ - граница 2-шара, то есть диска, - окружность = 1-сфере = 1- тору = 1- "полноторию",
$\partial B^3=S^2$ - граница 3-шара - 2- сфера.

Вопрос : что является границей шара $B^4$ :

$\partial B^4=T^3 ? =S^3 ?=\dot{T^3} ?$

Заранее благодарен за ответ.

[paha]

Fagot в сообщении #360933 писал(а):

$T^3=T^2\times S^1$ - полноторий с вырезанным полноторием внутри

Это называется трехмерный тор, он является прямым произведением -- там косой крест $\times$ имеется в определении

Fagot в сообщении #360933 писал(а):

что является границей шара $B^4$

Слово граница имеет четкое значение и имеет смысл только тогда, когда есть объемлющее пространство. Для того что Вы имеете ввиду, зарезервирован термин край.
Краем шара является сфера $\partial B^{n+1}=S^n$ $\forall n\ge 0$...

Вы расскажите, что Вас в этом обстоятельстве не устраивает)

[Munin]

А у фигур $B^m\times T^n$ специальное название есть?

[Fagot]

paha в сообщении #361011 писал(а):

Это называется трехмерный тор, он является прямым произведением -- там косой крест $\times$ имеется в определении

Да, конечно, он называется трехмерным тором $(S^1)^3$. Сомнение возникает, если эту процедуру прямого произведения двумерного тора на окружность представить геометрически как вращение поверхности бублика по окружности, нормальной к его дырке, проходящей через ось 2-тора, центр которой находится вне тора. Тогда получается, что этот бублик "заметает" пространство полнотория с вырезанным полноторием в середине. Это так, или это ошибка?

[Munin]

Это ошибка. Вам надо выйти в четырёхмерное пространство, там будет заметание без самопересечения и самоналожения.

[paha]

Fagot в сообщении #361043 писал(а):

если эту процедуру прямого произведения двумерного тора на окружность представить геометрически как вращение поверхности бублика по окружности, нормальной к его дырке, проходящей через ось 2-тора, центр которой находится вне тора. Тогда получается, что этот бублик "заметает" пространство полнотория с вырезанным полноторием в середине

1) Подумайте, что значит "поверхность вращения" в размерности 2 (кривая вращения)
2) Подумайте -- "вокруг чего" надо вращать в четырехмерном пространстве

[Fagot]

paha в сообщении #361011 писал(а):

Краем шара является сфера $\partial B^{n+1}=S^n$ $\forall n\ge 0$...

Вы расскажите, что Вас в этом обстоятельстве не устраивает

В четных сферах понятно - $S^0, S^2 : \chi(S^{2n})=2$. А вот нечетные сферы ... $S^1$ равна $T^1$, её эйлерова характеристика равна нулю, следовательно, она равна нулю у всех торов (и полноториев), при формировании которых в прямом произведении $S^1$ участвует; $S^1$ гомотопически эквивалентна 3- полноторию $B^2\times S^1$. Нечетные сферы больше похожи на торы, чем на сферы (хотя понимаю, что это вопрос определений). Пока не могу понять, есть ли у них дырка. У четных её нет, очевидно.

-- Пн окт 11, 2010 21:50:39 --

Munin в сообщении #361053 писал(а):

Вам надо выйти в четырёхмерное пространство, там будет заметание без самопересечения и самоналожения.

Да, ошибка, спасибо. $S^1\times S^1$ умножаются нормально в трехмерном пространстве, значит, $T^2\times S^1$ должны умножаться в четырехмерном.

-- Пн окт 11, 2010 21:56:52 --

paha в сообщении #361104 писал(а):

1) Подумайте, что значит "поверхность вращения" в размерности 2 (кривая вращения)

В 2- размерности это окружность. Если вращать по нормали к поверхности, то это возможно наверно при $n\ge 3$.

paha в сообщении #361104 писал(а):

2) Подумайте -- "вокруг чего" надо вращать в четырехмерном пространстве

Вокруг нормали к трехмерному пространству?

[Munin]

Fagot в сообщении #361115 писал(а):

Вокруг нормали к трехмерному пространству?

Нет. В многомерных пространствах вращение вообще происходит не вокруг прямой (а вокруг подпространства коразмерности 2 - впрочем, это простейшие вращения).

И вспомните схему образования двумерного тора. Вы вращали окружность вокруг прямой, не нормальной к плоскости этой окружности, а лежащей в этой плоскости.

[Fagot]

Munin в сообщении #361129 писал(а):

И вспомните схему образования двумерного тора. Вы вращали окружность вокруг прямой, не нормальной к плоскости этой окружности, а лежащей в этой плоскости.

Говорит ли это о том, что топологические преобразования - наследственны (в чем-то и иногда)?

[Munin]

Вообще всё, что вы тут обсуждаете - не совсем топология. В топологии вообще нет фигур вращения, заметания... там есть прямые произведения пространств.

[Fagot]

Munin в сообщении #361147 писал(а):

Вообще всё, что вы тут обсуждаете - не совсем топология. В топологии вообще нет фигур вращения, заметания...

При определении открытого и закрытого шара, сферы тоже приходится привлекать норму в евклидовом пространстве.

[Munin]

Смотря как их определять.

[Fagot]

Munin в сообщении #361170 писал(а):

Смотря как их определять.

paha в сообщении #352557 писал(а):

Например, с помощью операции надстройки

Сферы $S^n$ гомеоморфны надстройкам при $n\ge 1$ (Спеньер).

[paha]

Fagot в сообщении #361178 писал(а):

Сферы $S^n$ гомеоморфны надстройкам

как раз пример с надстройкой (слишком искусственный тут) я привел для того, чтобы было понятно -- норма тут ни при чем... проще с нормой, только и всего

Fagot в сообщении #361115 писал(а):

В четных сферах для четномерных сфер понятно - $S^0, S^2 : \chi(S^{2n})=2$. А вот нечетные сферы для нечетномерных...

уже пишите правильно, мочи нет читать про четные сферы


Где логика:
высказывание

Fagot в сообщении #361115 писал(а):

$S^1$ равна $T^1$, её эйлерова характеристика равна нулю, следовательно, она равна нулю у всех торов (и полноториев), при формировании которых в прямом произведении $S^1$ участвует;

никак не связано с

Fagot в сообщении #361115 писал(а):

$S^1$ гомотопически эквивалентна 3- полноторию $B^2\times S^1$

и уж тем более вне всякой связи с

Fagot в сообщении #361115 писал(а):

Нечетные нечетномерные сферы больше похожи на торы, чем на сферы (хотя понимаю, что это вопрос определений). Пока не могу понять, есть ли у них дырка. У четных четномерных её нет, очевидно.

(Оффтоп)

Больше-меньше похожи девочки с шариками на демонстрации...

еще раз и снова:
1) определитесь с тем, что такое "дырка": плохое (но корректное) определение лучше тысячи интуитивных догадок... почему-то Вам очевидно, что у четномерных сфер нет этих "дырок"... откуда такая уверенность?
2) говорить, что нечетномерные сферы похожи на торы, на основании того, что у нечетномерных сфер эйлерова характеристика равна нулю -- глупость несусветная: у всех замкнутых нечетномерных многообразий эйлерова характеристика равна нулю
3) похоже, Вы узнали что такое эйлерова характеристика (которая решает практически всё в размерности 2) и ринулись с этим инструментом в многомерие... А ведь это очень слабенький инструмент там -- по аналогии ничего не проходит

[Fagot]

paha в сообщении #361193 писал(а):

2) говорить, что нечетномерные сферы похожи на торы, на основании того, что у нечетномерных сфер эйлерова характеристика равна нулю -- глупость несусветная: у всех замкнутых нечетномерных многообразий эйлерова характеристика равна нулю

Логика такая. Все нечетномерные замкнутые многообразия имеют нулевую эйлерову характеристику и поэтому допускают существование непрерывного векторного поля. Это, на мой взгляд, существенный факт. Этим же свойством, в виду равенства нулю их эйлеровой характеристики, обладают все торы любой размерности. На примере двумерного тора понятна причина этого : тороидальный ёж, скажем, причесывается благодаря наличию двух классов петель, не стягиваемых в точку, которые возникают благодаря наличию у данного тора дырки в трехмерном пространстве, в которое он вложен (она видна невооруженным глазом, корректное же и универсальное определение её это, наверно, задача для квалифицированных специалистов). С другой стороны, у четномерных сфер, в виду их односвязности, дырка отсутствует, эйлерова характеристика равна двойке, и поэтому они не допускают существование векторных полей без особенностей (имеют хотя бы одну неподвижную точку).