Полное численное решение алгебраических уравнений

[GAA]

Для размещений сообщений в разделе «Помогите решить / разобраться» от Вас ожидается именно академическая статья о методе. Больше я Вас в этой теме беспокоить не буду. Выше все уже было сказано. Надеюсь на то, что с Вами в этой теме плодотворно и по существу побеседуют специалисты.

-- Сб 11.09.2010 16:28:28 --

Когда в предыдущем сообщении писал «Вопрос возникает только в случае, если число корней меньше n», то думал: из контекста понятно, что говорится о числе найденных корней. Просто поленился повторить слово «найденных». Не прав, конечно, надо быть аккуратным.

[alekcey]

Если выше упоминались только многочлены с вещественными коэффициентами, то, конечно же, имеет место неточность. Речь везде должна идти о многочленах с коэффициентами комплексными. И не об одном уравнении, а о системе уравнений с числом переменных “>” или “=” числу уравнений. В случае “=” мы говорим о полном решении, а в случае”>” говорим, скорее, о теоретической возможности нахождения любого решения.
Реализация при больших размерностях и показателях степеней, естественно, сталкивается с возможностями вычислительной техники. Основное – это потеря точности. Поэтому думается, что самыми лучшими средами реализации могли бы быть матпакеты с их функциями решения ОДУ и работой со значащими цифрами…
Понятно и опыт показывает, что даже в рамках целевого и дружелюбного форума подробно поделиться всеми моментами, – уже работа. Но тот же опыт даёт основание надеяться, что такие ситуации возникнут. Мой личный интерес в какой-то степени удовлетворён, благодаря тем людям, которые общались на форумах и тем, кто в результате опубликовал работы. Просто сила инерции и возможности Интернета привели к численному решению алгебраических уравнений вообще. (Хотелось бы найти работающих примерно в этом же направлении, но с активной жизненной позицией…)
Поскольку тема дискуссионная, – а желающих напомнить об этом всегда есть и будет, – то можно и поговорить, только хотелось бы говорить не со скучающе-любопытствующими, которым без разницы, в какой теме, и на каком уровне принимать участие…

[alekcey]

Думается, идея, как работать с многочленом от одной переменной, проста, а потому понятна и легка в реализации.
Вот окружность единичного радиуса с центром в начале координат как пример многочлена от двух переменных

\[x^2 + y^2 \,\, - 1 = 0;\]

Корни этого многочлена есть решение следующей системы уравнений:

\[ \left\{ \begin{array}{l} a^2 {\rm{ }} - {\rm{ }}b^2 {\rm{ }} + {\rm{ }}c^2 {\rm{ }} - {\rm{ }}d^2 {\rm{ }} = {\rm{ }}1; \\ 2ab{\rm{ }} + {\rm{ }}2cd{\rm{ }} = {\rm{ }}0; \\ \end{array} \right.\]

которая получается, если исходные переменные представить в виде суммы их вещественной и мнимой части,

\[x = a + ib;\,\,y = c + id;\]

а потом приравнять 0 отдельно вещественную и мнимую часть.
Система двух уравнений с четырьмя переменными. Её решением является двухпараметрическая поверхность в четырёхмерном пространстве как пересечение двух трёхпараметрических поверхностей. Пока не будем касаться способов получения решения этой системы (система с числом переменных большим числа уравнений), а просто попробуем представить себе, как само оно выглядит. Для иллюстрации даже такого простого примера требуется некое упрощение, зато чётко видна аналогия с многочленами от одной переменной: на рисунке проекции поверхностей на трёхмерное пространство (a b c).

Первый рисунок это поверхность “вещественного” уравнения, второй – “мнимого”, а третий – это их совместное расположение. Плоские же проекции будут иметь вид пересекающихся кривых. Оно и понятно, ведь если в многочлене от n переменных фиксировать значения любых n-1 переменных, то будут получаться многочлены от одной переменной…
Поэтому алгоритм полного решения системы алгебраических уравнений с числом переменных равным числу уравнений практически не отличается от поиска корней обычного многочлена…

[GAA]

В связи с тем, что на 24.10.10 один из рисунков пропал , автор темы на вопросы по сути не ответил, подробно излагать метод отказался, ссылок не привел, и в связи с его блокированием навсегда — тема перемещается в «Пургаторий (М)».

26.10.10 выяснилось, что рисунок не пропал, а просто долго грузится, времени ожидания может не хватить. Проблему можно решить многократным открытием рисунка.