метод характеристик для ДУ в частных произ-ных

[spyphy]

Суть "метода характеристик" в том, что решение уравнения в частных производных двух переменных (когда все производные имеют одинаковый порядок) ищется в виде u(x,y)=w(x+ky).
Я не могу найти обоснование, почему так можно делать. В каких учебниках это описано?

[Joker_vD]

А почему нельзя? Методы типа "будем искать решение в виде таком-то" основываются на "не, ну а вдруг оно имеет такой вид? Почему бы и не попробовать".

[Alexey1]

spyphy в сообщении #360875 писал(а):

Суть "метода характеристик" в том, что решение уравнения в частных производных двух переменных (когда все производные имеют одинаковый порядок) ищется в виде u(x,y)=w(x+ky).

А с чего Вы это взяли? Пусть, например, дано уравнение $a(x,y)u_x+b(x,y)u_y=c(x,y,u)$. Используя метод характеристик получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
$x_t=a(x,y),$
$y_t=b(x,y),$
$u_t=c(x,y,u),$
$x(0,s)=x_0(s), y(0,s)=y_0(s), u(0,s)=u_0(s)$ - начальное условие
где $x,y,u$ являются функциями от $s,t$ (параметризация). Решая эту систему и переходя от переменных $s,t$ к переменным $x,y$ получаем решение.
Если уравнение, например, имеет вид $u_x+au_y=0, \ u(0,y)=f(y)$, то решение можно искать как $f(y-ax)$ так как в этом случае
$x_t=1, \ x(0,s)=0 \Longrightarrow x(t,s)=t,$
$y_t=a, \ y(0,s)=s \Longrightarrow y(t,s)=at+s$
$u_t=0, \ u(0,s)=f(s) \Longrightarrow u(t,s)=f(s), u(x,y)=f(y-ax).$

[mitia87]

spyphy. То, как Вы ищите решение, ближе к поиску автомодельных решений. А именно решений типа "бегущей волны". Но это дает лишь частные решения определенного класса. Меод характеристик нужен для других целей.

[moscwicz]

spyphy в сообщении #360875 писал(а):

Суть "метода характеристик" в том, что решение уравнения в частных производных двух переменных (когда все производные имеют одинаковый порядок) ищется в виде u(x,y)=w(x+ky).

суть не в этом и характеристики не обязаны быть прямыми, и порядок производных не обязан быть одинаковым.
читаем: Курант Гильберт Уравнения с частными производными

[spyphy]

Alexey1 в сообщении #360907 писал(а):

А с чего Вы это взяли?

с конспекта.
Но здесь толком не написано, какие именно необходимые условия (я это это и хочу выяснить). Видимо, чтобы искать в виде u=w(x+ky), все слагаемые должны быть производными и при том одного порядка, а уравнение должно быть линейным. Конкретно, там написан пример решения $ 6u_{xx} - 5u_{xy}+u_{yy}=0 $. А мне дано решить уравнение $ 20u_{xxx} - 4u_{xxy} - 5u_{xyy} + u_{yyy}=0 $. Как я полагаю, решать надо тем же методом, ибо других не знаю.

[ewert]

ну раз такая игрушка, так за чем дело стало -- подставляйте и решайте себе кубическое уравнение