Одна задача на док-во по индукции

[GrishinUS]

Здравствуйте,

есть вот такая задача:
Use mathematical induction to prove each of the following:
33. $x+y$ is a factor of $x^2^n-y^2^n$
И ее решение:
33.
(1) Basis step. $S_1$: $x+y$ is a factor of $x^2-y^2$. True.
$S_2$: x+y is a factor of $x^4-y^4$. True.

(2) Induction step. Assume $S_k_-_1$: $x+y$ is a factor of $x^2^(^k^-^1^)-y^2^(^k^-^1^)$. Then $x^2^(^k^-^1^)-y^2^(^k^-^1^) = (x+y)Q(x)$ for some polynomial $Q$.
Assume $S_k$: $x+y$ is a factor of $x^2^k-y^2^k$.Then $x^2^k-y^2^k = (x+y)P(x)$ for some polynomial $P$.

$x^2^(^k^+^1^)-y^2^(^k^+^1^)=(x^2^k-y^2^k)(x^2+y^2)-(x^2^(^k^-^1^)-y^2^(^k^-^1^)(x^2y^2)=(x+y)P(x)(x^2+y^2)-(x+y)Q(x)(x^2y^2)=(x+y)[P(x)(x^2+y^2)-Q(x)(x^2y^2)]$ so $x+y$ is a factor of $x^2^(^k^+^1^)-y^2^(^k^+^1^)$.

Кто-нибудь может мне объяснить зачем в решении этой задачи рассматривается $S_k_-_1$?
И вообще, я решил по-другому, не знаю насколько правильно(достаточно):
$S_1$: $x+y$ является множителем $x^2-y^2$. Истинно, поскольку $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$.
$S_k$: $x+y$ является множителем $x^2k-y^2k$.
$S_K_+_1$: x+y является множителем $x^2^(^2^k^+^1^)-y^2^(^k^+^1^)$.
$x^2^(^k^+^1^)-y^2^(^k^+^1^)=(x^(^k^+^1^)-y^(^k^+^1^))(x^(^k^+^1^)+y^(^k^+^1^))$. Поскольку $x+y$ является множителем $(x^(^k^+^1^)+y^(^k^+^1^))$, $S_k\Rightarrow S_k_+_1$. Доказано.

[ИСН]

Вы под индукцией что понимаете (своими словами, коротко)?

[GrishinUS]

Метод рассуждений "от частного к общему", т.е. метод обобщения.

[ИСН]

А, ну да, извините, это я как-то слишком расплывчато сформулировал. Под методом математической индукции Вы что понимаете?

[Null]

Почему $x+y$ является множителем $(x^{(k+1)}+y^{(k+1)})$?

(Оффтоп)

x^{(k+1)} = $x^{(k+1)}$

[GrishinUS]

Цитата:

А, ну да, извините, это я как-то слишком расплывчато сформулировал. Под методом математической индукции Вы что понимаете?

Ну то же самое, по-большому счету. Возможность подтвердить или опровергнуть утверждение $Sn$ для любого порядкового номера n.

Цитата:

Почему $x+y$ является множителем $(x^{(k+1)}+y^{(k+1)})$?

Действительно не является , а жаль.

[ИСН]

Пересмотрите свои взгляды на сущность метода математической индукции.

[GrishinUS]

Цитата:

Пересмотрите свои взгляды на сущность метода математической индукции.

Хорошо.

[Профессор Снэйп]

GrishinUS в сообщении #360451 писал(а):

Use mathematical induction to prove each of the following:
33. $x+y$ is a factor of $x^2^n-y^2^n$

Так что имеется в виду: $x^{2^n} - y^{2^n}$ или $x^{2n}-y^{2n}$? В оригинале

$x^2^n-y^2^n$

-- Вс окт 10, 2010 20:39:07 --

Если второе, то нахрена тут индукция?

$$ x^{2n}-y^{2n} = (x-y)(x+y)\left(x^{2(n-1)} + x^{2(n-2)}y^2 + x^{2(n-3)}y^4 + \ldots + x^2y^{2(n-2)} + y^{2(n-1)}\right) $$

Первое при $n > 0$ является частным случаем второго, а при $n = 0$ вообще не верно!

[GrishinUS]

Цитата:

Так что имеется в виду: $x^{2^n} - y^{2^n}$ или $x^{2n}-y^{2n}$?

Второе.

Если второе, то нахрена тут индукция?

Понятия не имею, если честно. Вот Вы сейчас что за свойство применили?

[Alexey1]

GrishinUS в сообщении #360451 писал(а):

Кто-нибудь может мне объяснить зачем в решении этой задачи рассматривается $S_k_-_1$?

Посмотрите на то какая база индукции. Базой индукции является правильность формулы для $S_1,S_2$. Шагом индукции предполагается $S_{k-1}, S_k$. Если из того, что утверждение верно для $S_{k-1},S_k$ следует то, что утверждение верно для $S_{k+1}$, то возьмите $k=2$, тогда из базы индукции получаете, что утверждение верно для $S_3$, но также из базы индукции получаете, что утверждение верно для $S_2$. Теперь $k=3$ и так далее.
Также посмотрите принцип полной математической индукции.

[Профессор Снэйп]

GrishinUS в сообщении #360799 писал(а):

Вот Вы сейчас что за свойство применили?

$a(b + c) = ab + ac$

[GrishinUS]

Цитата:

Посмотрите на то какая база индукции. Базой индукции является правильность формулы для $S_1,S_2$. Шагом индукции предполагается $S_{k-1}, S_k$. Если из того, что утверждение верно для $S_{k-1},S_k$ следует то, что утверждение верно для $S_{k+1}$, то возьмите $k=2$, тогда из базы индукции получаете, что утверждение верно для $S_3$, но также из базы индукции получаете, что утверждение верно для $S_2$. Теперь $k=3$ и так далее.
Также посмотрите принцип полной математической индукции.

Спасибо, то что нужно.

Цитата:

$a(b + c) = ab + ac$

О нет! Я о другом: как называется свойство, по которому Вы разложили

$x^{2n}-y^{2n}$ в полином?

[Dan B-Yallay]

$(x+y)^n = (x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2+ \ldots + y^n)$

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay в сообщении #361064 писал(а):

$(x+y)^n = (x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2+ \ldots + y^n)$

Это неверно. Бином Ньютона не так выглядит

GrishinUS в сообщении #361058 писал(а):

как называется свойство, по которому Вы разложили

Понятия не имею, как оно называется.

$$ a^k - b^k = (a-b)\left(a^{k-1} + a^{k-2}b + a^{k-3}b^2 + \ldots + ab^{k-2} + b^{k-1}\right) $$

Перемножьте и проверьте.