Общее решение ДУ

[ewert]

IgorMerzliakov в сообщении #359393 писал(а):

А есть ли методы помимо метода разделения переменных, для определения общего решения?

Метод разделения переменных предназначен для нахождения не общего, а, наоборот, частного решения и для очень частных задач.

Ну хотя moscwicz меня и перебил, но я всё-таки попробую конкретизировать, откуда ноги растут (не стирать же, раз уже набрано). Все эти вопросы явно были спровоцированы традиционным способом оформления решений задач типа:

$u'_t=u''_{xx};$
$u(0)=0,\ \ u(1)=0;$
$u|_{t=0}=w(x).$

Традиционно принято начинать решение эпическими словами: "Будем искать решение в виде $u(x,t)=T(t)\cdot X(x)$. Подставим его в уравнение, разделим..." и т.д. Что, естественно, выглядит полнейшим шаманством.

Разумный подход к решению совсем другой. Надо перевести задачу на операторный язык:

$u'_t=Au;$
$u|_{t=0}=w$

где $A={d^2\over dx^2}$ дифф. оператор с соотв. граничными условиями. Известно, что собственные числа такого оператора образуют полную ортогональную систему и, следовательно, любую функцию можно разложить по ним в ряд Фурье -- в частности, и $u(\cdot,t)$, уж какой бы она ни была. Вот теперь действительно напрашивается подстановка такого формального разложения в уравнение с последующими естественными выводами.

Технические детали решения при этом будут практически такими же, как и в первом случае (во всяком случае, для этой задачи). Однако теперь решение оказывается уже вполне сознательным. К сожалению, до сих пор во многих книжках используют традиционно-бессознательное изложение, сформировавшееся ещё в далеко дофунканные времена.

[IgorMerzliakov]

moscwicz в сообщении #359397 писал(а):

пристойный учебник по УРЧП

Ув. moscwicz, вот вы и порекомендуйте мне что бы такое почитать, чтоб плодотворно для себя провести время?:)

ИСН в сообщении #359398 писал(а):

Ах, не заметил - второго порядка. Ну, подумаешь, делов-то. Продифференцируйте то уравнение ещё раз по x.

Это не будет полноценным уравнением второго порядка, ибо при решении мы вновь прийдём к исходному

[ИСН]

Это сильный тезис. Знаете, в процессе решения многих обыкновенных ДУ второго порядка мы в процессе приходим к каким-то ДУ первого порядка - что же теперь, значит, те тоже были неполноценные?

[IgorMerzliakov]

ИСН в сообщении #359419 писал(а):

многих обыкновенных ДУ второго порядка

Обратите внимание на слово "обыкновенных". А у нас не обыкновенные.

[IgorMerzliakov]

Ув. ewert
Так можно бесконечно много говорить о проблеме, вы привели несколько неудачный пример. Какой бы метод и какую бы эпическую формулировку мы не выбирали, "от перемещения слагаемых, результат не меняется". Давайте разбираться на конкретных примерах, например вот:
$U'_t+U''_{xx}+U'_x=0$
Готовы определить общее решение для такого уравнения?

[ИСН]

Это обращённая теплопроводность, у неё с существованием беда.

[IgorMerzliakov]

ну если такое не нравится, могу другое подсунуть:
$\zeta'_t+U\zeta'_x=a\zeta''_{xx}$
Готовы?

[Полосин]

IgorMerzliakov, по УрЧП существует огромная литература, это классический раздел математики. Тихонов-Самарский, Владимиров, Ладыженская, Михлин, пятый (кажется) том Смирнова, по задаче Штурма-Лиувилля - Левитан и соавторы, общая теория - Хёрмандер, и многие, многие, многие другие. Общее решение можно найти лишь в исключительных случаях (уравнения первого порядка; модельные уравнения второго порядка; фундаментальное решение - для уравнений с постоянными коэффициентами; разумеется, речь лишь о линейных случаях). Задачи для УрЧП, решаемые в явном виде, - это студенческий уровень, в общем случае это исключение. Дать даже первоначальное представление о предмете в рамках форума не представляется возможным.

[ИСН]

IgorMerzliakov, а так - это обычная теплопроводность, у неё общее решение выражается через начальное условие и функцию Грина. Но вообще, как уже многими отмечено, Вы задаёте не те вопросы. Смысл-то в них есть, и ответ возможен, но он Вам не прояснит чего-то важного, что осталось позади.

[IgorMerzliakov]

ИСН, я слышал о функции Грина, это мощный аппарат (но с ним ничего не поделаешь, так как интегралы остаются интегралами), но разобраться по ней основательно не пришлось. Вот и посоветуйте литературу, где описывается теория построения функций Грина, а то я сколько учебников не брал, там либо сугубо квантовая механика, что мало что понятно, либо совсем чисто практические задачи... а по ним суть не ясна.

-- Вт окт 05, 2010 21:53:59 --

for Полосин

Полосин в сообщении #359520 писал(а):

по УрЧП существует огромная литература

Я знаю что литературы очень много, только там любят отходить от темы теории и постепенно переходить к численному моделированию, что меня совсем не устраивает, так как вопросы численных решений я несколько изучил. Так что думаю не все книжки будут мне полезны.

Ну в любом случае спасибо за предоставленную литературу.

-- Вт окт 05, 2010 22:09:51 --

for ИСН

ИСН в сообщении #359521 писал(а):

осталось позади.

Почему позади? Наоборот, всё только впереди.

[mitia87]

IgorMerzliakov, в метро пришла мысль навести Вас на (возможно) более реальную задачу. В литературе можно найти некий класс уравнений с ЧП, для которых найдены общие решения. Было бы интересно описать класс уравнений, сводящихся к таким и которые сами были тогда решались.
Классический пример: преобразование Хопфа для невязкого уравнения Бюргерса сводит его к линейной теплопроводности, которую уже написано выше как решать. Хотя это скорее не общее решение, а сведение к задачам с известным решением. И это книги Зайцева и Полянина и др.