Базис линейного пространства.

[Mitrius_Math]

Задача.
Линейно независимую систему векторов f_1=3+x+2x^2, \ f_2=-2+x-x^2 вещественного пространства L многочленов степени \leq 2 дополнить до базиса этого пространства.
Решение.
Пространство L имеет размерность, равную 3. Значит, базис образуют 3 линейно независимых вектора данного пространства. Два вектора даны. Пусть f_3=a+bx+cx^2 - искомый базисный вектор. Если f_1, \ f_2, \ f_3 - базис, то равенство \alpha f_1 + \beta f_2+ \gamma f_3=0; \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \in R выполняется только при \alpha = \beta = \gamma =0. Тогда \alpha (3+x+2x^2) + \beta (-2+x-x^2)+ \gamma (a+bx+cx^2)=0+0x+0x^2. Получаю систему уравнений, но не знаю, что делать дальше.

[mkot]

Смотрите, вектор $f_3$ принадлежит множеству $\mathbb{R}_2 \setminus \left<f_1, f_2\right>$. Поэтому найдите все вектора которые лежат в $\left<f_1, f_2\right>$ и в качестве $f_3$ возьмите любой другой.

[ewert]

а Вы не знайте, а тыкайте наобум. Скажем: тождественная единичка -- будет с теми двумя линейно независима?... -- ну и прекрасно.

А если сознательнее, то так. Безусловным базисом в том пространстве будут многочлены $1$, $x$ и $x^2$. Координатами произвольного вектора в этом базисе будут просто строчки (ну или столбцы, по вкусу) из коэффициентов многочлена. Вот и подберите строчку, линейно независимую от двух данных.

[Профессор Снэйп]

А то, что $f_1$ и $f_2$ линейно независимы, тоже надо проверять

Независимы конечно же...

[Mitrius_Math]

Профессор Снэйп в сообщении #359088 писал(а):

А то, что и линейно независимы, тоже надо проверять

Нет, не надо. Но это легко сделать.