Общее решение ДУ

[IgorMerzliakov]

Доброе время суток.
Возник вопрос: всегда ли при разделении переменных в ДУЧП $F=f(x,y,t)$ общее решение будет выгядеть как произведение $F=X(x)Y(y)T(t)$? И можно ли разделить переменные в ДУ с количеством переменных больше 2-х, естественно с последующим составлением ОДУ для каждой из координат?

[mitia87]

Не совсем по вопросу, а скорее по формулировке. Очень редко ищут (и даже говорят) про общее решение ДУЧП.
А если вопрос о решении начальной (начально-краевой, ...) задачи, то вопрос связан с возможностью разложимости в ряд Фурье и его сходимостью в выбранном функциональном пространстве.

[ИСН]

Общее, если угодно, выглядит как бесконечный ряд из вот таких вот кирпичей.

[IgorMerzliakov]

спасибо.

[ewert]

IgorMerzliakov в сообщении #357997 писал(а):

Возник вопрос: всегда ли при разделении переменных в ДУЧП $F=f(x,y,t)$ общее решение будет выгядеть как произведение $F=X(x)Y(y)T(t)$?

Практически никогда. Т.е. только если область прямоугольна. И -- да, такое решение (если есть) ни в каком смысле не является общим.

[IgorMerzliakov]

Ув. ответишие и не ответившие

ИСН в сообщении #358118 писал(а):

Общее, если угодно, выглядит как бесконечный ряд из вот таких вот кирпичей.

Я согласен, если мы получаем, в результате преобразований и решения ДУ, уравнение
$C1sin(kx)+C2cos(kx)$, но как искать решение если в результате появляется экспоненциальная функция? И возможно ли такую фукцию разложить в ряд Фурье?

-- Сб окт 02, 2010 12:38:03 --

она ведь проде не периодичная.

-- Сб окт 02, 2010 12:41:57 --

ewert в сообщении #358170 писал(а):

Практически никогда. Т.е. только если область прямоугольна. И -- да, такое решение (если есть) ни в каком смысле не является общим.

ну речь идёт о линейных ДУ. А если оно не общее, как я понимаю, оно не верное.

[ewert]

IgorMerzliakov в сообщении #358240 писал(а):

ну речь идёт о линейных ДУ.

Дело в данном случае не в линейности. А в специфике области. Ежели она не прямоугольна, то и искать решение в виде произведения по разным координатам -- ну явно бессмысленно.

IgorMerzliakov в сообщении #358240 писал(а):

А если оно не общее, как я понимаю, оно не верное.

Это Вы категорически неверно понимаете. Из необщности решения вовсе не следует его неверность (т.е. что оно не в силах быть хоть каким, но -- решением). Верно обратное: если какое-то частное выражение даёт хоть какое-то, но решение -- из этого вовсе не следует, что это выражение хоть сколько-то полезно. Без дополнительных аргументов.

[V.V.]

ewert в сообщении #358412 писал(а):

Дело в данном случае не в линейности. А в специфике области. Ежели она не прямоугольна, то и искать решение в виде произведения по разным координатам -- ну явно бессмысленно.

Да ладно! :)

[IgorMerzliakov]

Я понимаю, что если подставить частное решение в исходное ДУ, то всё сойдётся, я другое имел ввиду.

Объясните-ка пожайлуста лучше вот что: почему это общим называется мнимая часть от решения. И почему действительная часть является бесполезной?

[ewert]

(Оффтоп)

V.V. в сообщении #358426 писал(а):

Да ладно! :)

ежели намёк был на то, что прямоугольность бывает в разных системах координат (типа полярных и т.д.) -- готов согласиться. А ежели иначе -- то не понял.

-- Сб окт 02, 2010 22:14:06 --

IgorMerzliakov в сообщении #358428 писал(а):

Объясните-ка пожайлуста лучше вот что: почему это общим называется мнимая часть от решения. И почему действительная часть является бесполезной?

Это трудно объяснить, это какая-то загадка.

[IgorMerzliakov]

давайте уж договоримся решать в декартовых СК. Так как в контексте подразумевается именно это СК.

-- Сб окт 02, 2010 22:21:27 --

И что делать с непериодическим функциями?

[ewert]

IgorMerzliakov в сообщении #358434 писал(а):

И что делать с непериодическим функциями?

ничего, периодичность тут вообще не при чём. Просто так уж иногда случается, что собственные функции соотв. задачи Штурма-Лиувилля оказываются иной раз заодно ещё и периодическими, но они в этом нисколько не виновны, просто планида им такая вот выпала.

[IgorMerzliakov]

ewert в сообщении #358438 писал(а):

ничего, периодичность тут вообще не при чём. Просто так уж иногда случается, что собственные функции соотв. задачи Штурма-Лиувилля оказываются иной раз заодно ещё и периодическими, но они в этом нисколько не виновны, просто планида им такая вот выпала.

Как понимать ваше "ничего"? Как то, что если дифференциальное уравнение не отностися к задаче Штурма-Лаувилля, то оно вовсе не имеет общих решений или же как-нибудь иначе?

[IgorMerzliakov]

Уточню свой последний ответ. Общие решения ещё не найдены никем?

[ИСН]

"ничего" относилось к периодичности.