Сумма множеств

[fish-ka]

Доброго вечера.
Требуется проверить следующие свойства:
в пространстве Y со скалярным произведением
1)если $(X_i)_{i\in I}\in Y: X_i\perp X_j, \quad X_i=X_i ^{\perp\perp}$, то верно ли, что $X=\sum_{i\in I} X_i$ обладает свойством $X=X^{\perp\perp}$
2)если $(X_i)_{i\in I}\in Y: X_i\perp X_j, \quad X_i=\overline{X_i} $, то верно ли, что $X=\sum_{i\in I} X_i$ обладает свойством $X=\overline{X}$?
Под суммой понимается $X=\{x\in Y: x=\sum_{i\in I}x_i, x_i\in X_i\}$.

Вроде бы получил, что второй случай верен (если взять сходящуюся последовательность, то элементы этой последовательности сходятся (?) в силу замкнутости множеств $X_i$ к элементам из $X_i$ ). В первом пытался доказать аналитически - не вышло, пытался подобрать контрпример, тоже не очень удачно.
Помогите советом, пожалуйста.

[Хорхе]

Что означают вот эта перевернутая Т в верхнем индексе и вот эта палочка над $X$?

[ewert]

fish-ka в сообщении #358473 писал(а):

Под суммой понимается $X=\{x\in Y: x=\sum_{i\in I}x_i, x_i\in X_i\}$.

Если множество индексов бесконечно, то это понятие не определено. (Даже если оно счётно -- даже и тогда требуются дополнительные оговорки.)

[fish-ka]

$X^\perp$ - ортогональное дополнение. $\overline{X}$ - замыкание множества

-- Вс окт 03, 2010 12:24:32 --

ewert, а почему не определено? При обоих условиях 1 и 2 не определено?

[ewert]

fish-ka в сообщении #358546 писал(а):

а почему не определено?

а что такое сумма бесконечного количества слагаемых?... В несчётном случае это вообще бессмысленно, а в счётном -- нуждается в доопределении.

[fish-ka]

А можно ли взять в качестве доопределения то, что не более счетного числа слагаемых отлично от нуля?

[Joker_vD]

fish-ka
Не более конечного, вы хотите сказать. Ну можно, это "прямая сумма" называется.