Сложное выражение

[Vvp_57]

Случайно обнаружил в теме topic2666-30.html симпатичное выражение:
если $\varphi =\arctan \left(\frac{2a+3}{3\sqrt{3}} \right)$ и
$x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan \left(\frac{\varphi }{3} \right)-\frac{1}{2}$
$x_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan \left(\frac{\varphi +\pi }{3} \right)-\frac{1}{2}$
$x_3=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan \left(\frac{\varphi +2\pi }{3} \right)-\frac{1}{2}$
то
$\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\sqrt[3]{x_3}=\sqrt[3]{a+6-3\sqrt[3]{a^2+3a+9}}$
интересно, а если взять выражение:
$\left(x_2-x_3 \right)\sqrt[3]{x_1^2}+\left(x_3-x_1 \right)\sqrt[3]{x_2^2}+\left(x_1-x_2 \right)\sqrt[3]{x_3^2}=?$
то какое выражение будет за знаком равенства?

[Edward_Tur]

Положим $p=-(a+b+c), q=(ab+bc+ca), r=-abc$.
Если $p\sqrt[3]{r}+3\sqrt[3]{r^2}+q=0$, то $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{p^2\sqrt[3]{r}-3q\sqrt[3]{r}}-p-6\sqrt[3]{r}}$

[Vvp_57]

Edward_Tur в сообщении #358218 писал(а):

Положим $p=-(a+b+c), q=(ab+bc+ca), r=-abc$.
Если $p\sqrt[3]{r}+3\sqrt[3]{r^2}+q=0$, то $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{p^2\sqrt[3]{r}-3q\sqrt[3]{r}}-p-6\sqrt[3]{r}}$

Справедливо. Тем более что условие:
$p\sqrt[3]{r}+3\sqrt[3]{r^2}+q=0$
Для $x_1$,$x_2$,$x_3$ выполняется при любых $a$ :
$\sqrt[3]{x_1x_2^2}+\sqrt[3]{x_2x_3^2}+\sqrt[3]{x_3x_1^2}=0$
И что же дальше?

(Оффтоп)

Спасибо за формулы, у меня таких обобщающих в моем "арсенале" нет.