Комплексная плоскость и RxR

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #358195 писал(а):

Вы абсолютно уверены?...

В том, что каждое действительное число является комплексным? Конечно уверен! Действительное число --- это такое комплексное число, которое имеет нулевую мнимую часть

[paha]

Профессор Снэйп в сообщении #358197 писал(а):

Действительное число --- это такое комплексное число, которое имеет нулевую мнимую часть

а комплексное число -- это такой кватернион, у которого нулевые коэффициенты при ${\bf j}$ и ${\bf k}$?-))

[Профессор Снэйп]

paha в сообщении #358200 писал(а):

комплексное число -- это такой кватернион, у которого нулевые коэффициенты при ${\bf j}$ и ${\bf k}$?-))

Ну да. А что, разве это неверно?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #358197 писал(а):

В том, что каждое действительное число является комплексным? Конечно уверен! Действительное число --- это такое комплексное число, которое имеет нулевую мнимую часть

Вовсе нет. Вещественное число -- это вещественное число, а комплексное число -- это комплексное число, т.е. как ни крути, а пара вещественных. Есть лишь изоморфизм между вещественными числами и некоторым подмножеством комплексных.

Профессор Снэйп в сообщении #358202 писал(а):

Ну да. А что, разве это неверно?

Тоже нет, и по той же причине.

[paha]

Вероятно, Профессор Снэйп
имел ввиду, что существует единственный гомоморфизм алгебр $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, в силу чего вещественное число $a\in\mathbb{R}$ можно отождествить с комплексным $f(a)\in\mathbb{C}$? Хотя, с кватернионами и комплексными числами такой фокус не пройдет...

[Профессор Снэйп]

Ну хорошо, а натуральные числа являются целыми? Целые --- рациональными, рациональные --- действительными?.. Или тоже об изоморфизмах талдычить будете?

[VoloCh]

А по-моему, прав AD. Один топикстартер такой вопрос задаст, что 100 профессоров_Снэйпов не ответит. Потому что у топикстартера все числа - трамваи. И угадать действительно нельзя.

Мое imho по последнему.
Пусть $A$ --- некоторое множество и $a\in A$. Можно ли считать что $A\subset A\times A$ на том основании, что $\forall b\in A$ пара $(b,a)$ принадлежит $A\times A$?

Ведь ПС это имел в виду? (при $A={\mathbb R}$, $a=0$).

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #358209 писал(а):

Или тоже об изоморфизмах талдычить будете?

Об этих изоморфизмах -- не будем, это был бы оффтоп. А вот про комплексные -- приходится поталдычить. В этой ведь ветке обсуждается именно определение комплексных чисел, а не их применение.

[VoloCh]

ewert в сообщении #358186 писал(а):

Мимо кассы. Если ${\mathbb C}$ сравнивается именно с ${\mathbb R}^2$, то ${\mathbb C}$ -- тоже двумерно.

Если $\sqrt2$ сравнивается именно с $\pi$, то $\sqrt2$ --- тоже трансцендентно.
Если бабушка сравнивается именно с дедушкой, то бабушка --- мужчина.
Я так тоже могу, правда

[Профессор Снэйп]

Если $\mathbb{R} \not\subseteq \mathbb{C}$, то $0 \subseteq 1 \subseteq 2 \subseteq \ldots$.

Какая математика вам больше нравится?

[ewert]

VoloCh в сообщении #358216 писал(а):

Я так тоже могу, правда

Нет, так не можете. Вообще непонятно, за что Вы там на предыдущих страницах так долго боролись. Если вообще заходит речь о различии между $\mathbb C$ и $\mathbb R^2$, то, естественно, в этом контексте $\mathbb C$ интерпретируется именно как вещественное пространство.

Профессор Снэйп в сообщении #358217 писал(а):

Если $\mathbb{R} \not\subseteq \mathbb{C}$, то $0 \subseteq 1 \subseteq 2 \subseteq \ldots$.

Докажите.

[VoloCh]

ewert в сообщении #358220 писал(а):

Вообще непонятно, за что Вы там на предыдущих страницах так долго боролись. Если вообще заходит речь о различии между $\mathbb C$ и $\mathbb R^2$, то, естественно, в этом контексте $\mathbb C$ интерпретируется именно как вещественное пространство.

Боролся за то, о чем сказал AD, про определение трамвая. Ключевые слова у вас - про контекст. Стоит его пропустить (не уточнить), то и флуда на 5 страниц, и студенту трояк.

Например. Если рассматривают множество пар действительных чисел с нормой... ну скажем $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$ то это не обзывают ${\mathbb R}^2$. Зачем-то придумали всякие $L_p$ или $W_p^s$. А так и дедушка станет бабушкой ("в этом контексте"), а на доске если писать, то уж где-нибудь $\xi$ в $\zeta$ превратить милое дело. Если бы топикстартер обозвал свое множество {как-бы комплексные числа как поле над полем действительных чисел в контексте сравнения с действительной плоскостью} по-другому, то и вопрос бы пафос потерял, да и ответ был бы тривиален. Просто две одинаковых Ж, но одна с ручкой.

[ewert]

VoloCh в сообщении #358229 писал(а):

Например. Если рассматривают множество пар действительных чисел с нормой... ну скажем $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$ то это не обзывают ${\mathbb R}^2$. Зачем-то придумали всякие $L_p$ или $W_p^s$.

Совсем не в тему. Во-первых, именно ${\mathbb R}^2$ и обозначают -- в конечномерном случае выдумывать спецобозначения под конкретные нормы бессмысленно. Во-вторых, нормы к предмету разговора вовсе не имеют отношения. А вот линейная структура -- очень даже имеет (поэтому, кстати, и обозначать надо именно как ${\mathbb R}^2$, а не как ${\mathbb R}\times{\mathbb R}$).

[paha]

Нормы к предмету отношение имеют:)
автор темы снабдил же плоскость евклидовой метрикой

[VoloCh]

ewert в сообщении #358237 писал(а):

Во-первых, именно ${\mathbb R}^2$ и обозначают -- в конечномерном случае выдумывать спецобозначения под конкретные нормы бессмысленно. Во-вторых, нормы к предмету разговора вовсе не имеют отношения. А вот линейная структура -- очень даже имеет (поэтому, кстати, и обозначать надо именно как ${\mathbb R}^2$, а не как ${\mathbb R}\times{\mathbb R}$).

Ваше "Во-первых" давайте адресуем Колмогорову-Фомину, зачем они выдумали эту бессмылицу?
Ваше "Во-вторых" уже прокоментили...
Но я то говорил про обозначение и определение для ${\mathbb C}$.