Иррациональность pi e и pi^pi

[nikov]

Доказана ли иррациональность $\pi e$ или $\pi^\pi$?
Нашёл информацию, что трансцендентность не доказана (http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html), а про иррациональность ни слова.

[maxal]

Иррациональность $\pi e$ по-прежнему неизвестна - см. http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational ... _questions
Хотя какие-то анонсы доказательств были - см. post235788.html#p235788 и http://arxiv.org/abs/0907.0467

[nikov]

maxal в сообщении #356659 писал(а):

Иррациональность $\pi e$ по-прежнему неизвестна - см. http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational ... _questions

Не нашёл там информации о $\pi e$. Я так понимаю, что алгебраическая независимость $\pi$ и $e$- это гораздо более сильное утверждение чем иррациональность $\pi e$. То есть мы можем не знать об алгебраической независимости, но в то же время знать, что в частном случае $\pi e$ - иррационально.

[nikov]

Нашёл источник, который подтверждает, что иррациональность $\pi e$ - открытый вопрос: http://www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf

[maxal]

nikov в сообщении #356673 писал(а):

Не нашёл там информации о $\pi e$.

Цитирую:
Moreover, it is not known whether the set $\{\pi, e\}$ is algebraically independent over $\mathbb{Q}$.

Если $\pi e$ рационально, то $\pi$ и $e$ будут алгебраически зависимы над $\mathbb{Q}$.

[nikov]

maxal в сообщении #356760 писал(а):

Цитирую:
Moreover, it is not known whether the set $\{\pi, e\}$ is algebraically independent over $\mathbb{Q}$.

Если $\pi e$ рационально, то $\pi$ и $e$ будут алгебраически зависимы над $\mathbb{Q}$.

С другой стороны, вполне возможно состояние дел, при котором мы знаем, что $\pi e$ иррационально, но не знаем, являются ли $\pi$ и $e$ алгебраически независимыми. Меня волновало, не является ли текущее состояние дел таким. Вроде бы логического промаха я не совершил