пределы

[lenok.marshal]

Помогите посчитать пределы следующих выражений:

1) $\dfrac{-x+x^2-y+y^2}{-1+x^2-2xy+y^2}$ для $0<x,y\ll 1$

У меня получилось $x+y$.

2) $\dfrac{z(-x+x^2-zy+zy^2)}{(-1+x-zy)(z+x-zy)}$ для $z\gg 1, x\gg y$.

C этим есть проблемы.
Спасибо.

[ewert]

lenok.marshal в сообщении #355414 писал(а):

C этим есть проблемы.

Да, проблемы есть. Но не с решениями (это ещё когда будет), а с формулировками. Надо чётко указывать условия предельного перехода, а с этим у Вас дело швах.

(а $x+y$ в качестве ответа -- это вообще анекдот)

[gris]

Я так понял, что надо найти линейную аппроксимацию при малых положительных значениях переменных (в первом случае). И ответ очень даже похож на правду. Ну ещё о-малые добавить, если уж та надо.

[ewert]

gris в сообщении #355426 писал(а):

надо найти линейную аппроксимацию

Аппроксимация -- это не предел. Даже в математике следует использовать по возможности осмысленную терминологию, ну хоть мало-мальски осмысленную.

Если же речь идёт действительно об асимптотике, то вторая задача не имеет смысла. Хотя бы потому, что про игреки ничего не сказано.

[EtCetera]

ewert

ewert в сообщении #355429 писал(а):

Хотя бы потому, что про игреки ничего не сказано.

Если попытаться приоткрыть третий глаз, то можно додуматься до предположения о том, что под записью $z\gg 1, x\gg y$ имеется в виду
$\left\{\begin{array}{l}z\gg 1\\ z\gg x\\ 1\gg y\\ x\gg y\end{array}\right.$
(аналогично условию к первой задаче).

[TOTAL]

EtCetera в сообщении #355432 писал(а):

Если попытаться приоткрыть третий глаз, то можно

Или можно с закрытым третьим глазом попросить уточнить условие.

[ewert]

EtCetera в сообщении #355432 писал(а):

можно додуматься до предположения

Во-первых, додуматься очень трудно (никакому нормальному человеку такая запись этих четырёх условий даже и в голову не придёт, не говоря уж о том, что и значок "много больше" не вполне приличен, хотя формально всё и корректно).

Во-вторых, не поможет. Про иксы ничего определённого не сказано и, следовательно, ничего не известно про соотношение между $x$ и $x^2$. И про их соотношение с $zy$ -- тоже. Решительно ничего.

[EtCetera]

TOTAL

TOTAL в сообщении #355434 писал(а):

EtCetera в сообщении #355432 писал(а):

Если попытаться приоткрыть третий глаз, то можно

Или можно с закрытым третьим глазом попросить уточнить условие.

Да, безусловно Вы правы. Впрочем, весьма ощутимая доля тем в ПР/Р начинается с наглядных пособий по телепатии и экстрасенсорике, и оставлять такой обильный и качественный материал пропадать втуне кощунственно.

ewert

ewert в сообщении #355436 писал(а):

EtCetera в сообщении #355432 писал(а):

можно додуматься до предположения

Во-первых, додуматься очень трудно

Главное - ежедневные тренировки. Учиться, учиться, учиться. $\copyright$

ewert в сообщении #355436 писал(а):

никакому нормальному человеку такая запись этих четырёх условий даже и в голову не придёт

Вот теперь ТС разобидится, и мы так и не узнаем, какой смысл он хотел донести формулировкой второй задачи.

[paha]

Мне тоже Кажется, что запятая означает перечисление, а не разделяет неравенства. И задача - найти главный член. Во втором задании это $x$.

-- Чт сен 23, 2010 18:34:23 --

физики так часто пишут

[ewert]

paha в сообщении #355508 писал(а):

физики так часто пишут

математики тоже (да и я сам иногда), я не утверждал, что это абсолютно грешно, а лишь что математически не всегда выгодно, вот и в этой ситуации. А во втором задании -- ничего, конечно.

[lenok.marshal]

Спасибо за ответы. Не думала, что мой плохо сформулированный вопрос вызовет такую полемику. Из комментариев ясно, что правильнее сказать, что надо найти ассимптотику этих выражений.
Для первого известно, что $x$ и $y$ принимают малые положительные значения (в частности они намного меньше единицы), который я записала как $0<x\ll 1$, $0<y\ll 1$. Верно ли если я запишу, что

$\dfrac{-x+x^2-y+y^2}{-1+x^2-2xy+y^2}\approx x+y+O(x^2)+O(y^2)+O(xy)\approx x +y+o(x)+o(y)$?

Во втором спешила недописала все условия, как правильно заметили.. Весь набор такой $z\gg 1$ (и меньше бесконечности если хотите), $x\gg y$, $0<x\ll 1$, $0<y\ll 1$. Или сокращенно $0<y \ll x \ll 1\ll z$. Можно в этом случае что-то сказать?

-- Чт сен 23, 2010 19:11:41 --

ewert в сообщении #355520 писал(а):

я не утверждал, что это абсолютно грешно, а лишь что математически не всегда выгодно, вот и в этой ситуации. А во втором задании -- ничего, конечно.

я не утверждаю и не математик, и спасибо, что помогаете дать приемлемую формулировку вопросу.

[ewert]

lenok.marshal в сообщении #355524 писал(а):

Можно в этом случае что-то сказать?

Если икс стремится к нулю, то это уже лучше, конечно, но всё равно не спасает: с игрекзетом он по-прежнему не сравним. По первой задачке (в варианте "найти асимптотику") возражений с самого начала не было.

[lenok.marshal]

ewert в сообщении #355531 писал(а):

Если икс стремится к нулю, то это уже лучше, конечно, но всё равно не спасает: с игрекзетом он по-прежнему не сравним.

Мне тяжело сказать, что будет с игрекзет (надо делать прикидки для реальных данных), но ведь никто не сказал, что игрекзет не может остаться после нахождения ассимптотики, так? Что если я приближу так: в числителе в скобках выкину $x^2$ и $zy^2$, останется $z(-x-zy)$, в знаменателе выкину в первой и второй скобках $x$, поскольку оно мало по сравнению с $1$ и $z$ (надеюсь так можно сделать), тогда остается $(-1-zy)(z-zy)$. И того выйдет, что $\dfrac{z(-x+x^2-zy+zy^2)}{(-1+x-zy)(z+x-zy)}\approx \dfrac{x+zy}{1+zy}+..$. И в ответе останется $zy$..

-- Чт сен 23, 2010 20:23:06 --

Даже есть какой-то смысл у моей ассимптотики, потому что заведомо известно что выражение 2 должно быть меньше либо равно 1, но математически наверное нет?

[lenok.marshal]

Как поменять тему на "найти асимптотику"?