Задача по ЛП

[lopuxov]

Помогите, пожалуйста, с задачей.
$f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})-->max$, $x_{1}+x_{2}=<b$, $x_{1}>=0, x_{2}>=0$, $f_{1}=c_{1}x_{1}^{1/2}$, $f_{2}=c_{2}x_{2}$.
Вот как я думаю. Для того, чтобы узнать возрастает ли сумма функций, можно представить их с помощью определения производной:
$f_{1}(x_{1}+\delta)+f_{2}(x_{2}+\delta)=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+f'_{1}(x_{1})\delta+f'_{2}(x_{2})\delta$.
Последняя сумма, очевидно, больше, чем сумма значений функций в соответствующих точках:
$f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+f'_{1}(x_{1})\delta+f'_{2}(x_{2})\delta > f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})$.
Тогда, после сокращений на приращения аргументов и взаимоуничтожения функций в соответствующих точках
$f'_{1}(x_{1})+f'_{2}(x_{2}) > 0$.
Для большей наглядности запишем так:
$(f_{1}+f_{2})'>0$. Последнее выражение говорит о том, что сумма функций возрастает. Отсюда делается вывод, что максимум суммы функций достигается тогда, когда она перестает возрастать, т.е. при равенстве производных этих функций
$f'_{1}=f'_{2}$.
Далее приравниваем производные этих функций, из чего находим выражение для $x_{1}$, а затем, воспользовавшись ограничением, - для $x_{2}$.

Опасения у меня связаны с характером функции $f_{2}$.

[мат-ламер]

Во-первых эта задача нелинейного (а не линейного) программирования. Во-вторых, то что Вы написали вообще всё не правильно. И тут есть целая теория решать такие задачи. У Вас кстати коэффициенты $c_1$ и $c_2$ не даны. Так, что скорее всего ничего конкретного насчёт точки минимума сказать нельзя.

-- Ср сен 15, 2010 22:38:52 --

Впрочем, возможно в задаче надо определить, где достигается минимум для произвольных $c_i$. И требуется рассмотреть всевозможные случаи. Почитайте про условия экстремума (теорему Куна-Таккера, например).

-- Ср сен 15, 2010 22:59:49 --

Тут всего семь случаев. Минимум может достигаться внутри треугольника, на одной из трёх его сторон, и на углах треугольника. Для каждого из семи случаев надо выписать условие минимума. Для первого случая (внутри треугольника) - приравнять градиент к нулю. Для сторон надо воспользоваться множителями Лагранжа. Для угловых точек достаточно вычислить в них значение функции (хотя можно и через теорему Куна-Таккера, но это будет ненужное усложнение).

[lopuxov]

По условию задачи нужно найти, где достигается максимум, а не минимум. Но согласно тому решению, которое я написал, это не важно.
Вы правы, здесь надо определить где достигается максимум при произвольных $c_{i}$. И подразумевается рассмотрение всех возможных случаев.
Решение, написанное мной, является решением лишь в одном случае (я сделал ошибку, написав $f'_{1}(x_{1}+\delta)+f'_{2}(x_{2}+\delta)$ вместо $f'_{1}(x_{1}+\delta)+f'_{2}(x_{2}-\delta)$, все последующие записи нужно исправить в соответствии с последней). Решение в другом случае получается из $f'_{1}(x_{1}-\delta)+f'_{2}(x_{2}+\delta)$. Решение в третьем случае - найденное выражение для $x_{1}$ оказывается большим, чем ограничение $b$. Как выяснилось на паре, именно это и требовалось.

-- Ср сен 22, 2010 18:33:56 --

Я жду ответа и на последнее свое сообщение (заранее спасибо). Но хотелось бы узнать еще вот что (тема близка, поэтому не стал создавать новую). $f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})-->max$, $x_{1}+x_{2}=<b$, $x_{1}>=0, x_{2}>=0$, $x_{1_{0}}, x_{2_{0}} - reshenie$, $1). x_{1_{0}}+ x_{2_{0}} = b$, $2). suwestvuet \lambda >0: f'_{i}(x_{i_{0}})=< \lambda, i=1,2$, $f'_{i}(x_{i_{0}})<\lambda, sledovatel'no x_{i_{0}}=0$, $\lambda=max{f'_{i}(x_{i_{0}})}$.
Как называется то, что написано выше и где вы посоветуете про это узнать.

[мат-ламер]

Цитата:

Как называется то, что написано выше и где вы посоветуете про это узнать.

Не знаю.

Цитата:

Я жду ответа и на последнее свое сообщение (заранее спасибо).

Других вопросов я не нашёл. Если хотите знать моё мнение насчёт написанного, то я лучше воздержусь, поскольку в ходе Ваших мыслей не разобрался.