Квадратичная рекуррентность

[Rubik]

Последовательность $(x_n)$ задана первым членом $x_1$ и соотношением $x_n=Ax_{n-1}^2+Bx_{n-1}+C$. Возможно ли вывести формулу общего члена, и, если да, то как. Спасибо.

[maxal]

Обычно это проблематично, за исключением редких случаев типа $x_n = x_{n-1}^2 - 2$.

[Профессор Снэйп]

А метод Ньютона приближённого вычисления корней не на чём-то подобном основан?

[Утундрий]

Гм... порождающая функция тут не существет, так что даже прям-таки интересно как получается результат для $x_n = x_{n-2}^2 - 2$?

[Rubik]

Вопрос появился после расчета такой электрической цепи , но для конечного числа ячеек:

"В лоб" решить не получилось, поскольку при решении появляется квадратичная рекуррентность $r_n=R_1+\frac{R_2r_{n-1}}{R_2+r_{n-1}}$, где $r_n$ - сопротивление цепи из $n$ ячеек. Выкрутился, рассматривая токи и напряжения в ячейках, для каждой из этих величин можно составить линейную рекуррентную формулу, выразить через $n$, а затем написать $r_n=\frac{U_n}{I_n}$. Так вот, появилась идея, можно ли каждый член любой последовательности $(x_n)$ представить как $x_n=\frac{y_n}{z_n}$, где $(y_n)$, $(z_n)$ - линейные рекуррентные последовательности?

[ИСН]

Профессор Снэйп, вот да, пахнет чем-то таким.
Утундрий, он получается как-то там через гиперболические косинусы, довольно просто.
Rubik, нет, нельзя. А зачем? Конечные цепи в любом случае рассчитываются просто, это я помню.

[Rubik]

ИСН
А если задача именно состоит в том, чтобы выразить сопротивление через $n$, $R_1$ и $R_2$. Если $n$ задано (в разумных пределах) я и сам смогу $n$ раз применить формулы паралельного и последовательного соединения резистров. Меня эта задача заинтересовала тем, что в ней возникает квадритичная рекуррентность, общий член которой находится неким изворотом. Так вот, можно ли этот изворот повторить для любой квадратичной рекуррентности?

-- Вт сен 21, 2010 22:18:13 --

Прошу прощения, $r_n$ не является последовательностью того типа, что я описал в первом посте.

[maxal]

Утундрий в сообщении #354943 писал(а):

так что даже прям-таки интересно как получается результат для $x_n = x_{n-2}^2 - 2$?

Числа Люка $x_n = L_{2^n}$ для $n>1$ удовлетворяют рекуррентному соотношению $x_n = x_{n-1}^2 - 2$.

[ИСН]

Хе, я и забыл. Однако про гиперболический косинус - тоже правда.

[Null]

$L_{2^n}=2ch(2^n \ln{(\phi)})$ при n>1

[Руст]

$x_n=x_n^2-2, x_n=2cos y_n\to y_n=2y_{n-1}\to x_n=2\cos (2^ny_0).$
Можно решить и общий случай представив это как удвоение аргумента для соответствующей эллиптической функции.

[Yu_K]

http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html для информации - посмотрите пример - там стохастика в основном, за исключением начального участка.