For Sasha2

[ins-]

I would like to post a statement I believe Sasha2 will like:

There are given two equilateral triangles ABC and DEC
(with common vertex C and different side lengths).
M is the middle of AC, N is the middle of CD, P is the middle of BD. Prove that
MNP is equilateral triangle.

Some details can be cleared but I believe it is a beautiful fact.
It can be used to prove this one:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=366087
The problem I proposed is an easy olympiad problem. Similar problem
were given in Irish and Macedonian Math Olympiads.

[ins-]

http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... 146#p16196
There is a picture.

[Хорхе]

But there is a much stronger (and quite classical) statement.

Take similar triangles $ABC$ and $A'B'C'$ oriented the same way (or, if you prefer, rotatingly homotetical). On $AA'$, $BB'$, $CC'$, take points $A''$, $B''$, $C''$ correspondingly so that $AA'/AA''=CC'/CC''=BB'/BB''$. Then $A''B''C''$ is similar to $ABC$ (or points $A''$, $B''$, $C''$ may coincide).

[Sasha2]

Look...

Но это тоже далеко не олимпиадная задача, хотя покрасивше, чем предыдущее нагромождение окружностей.
Все практически (а ведь середины сторон, это не те точки, которые трудно отыскивать) лежит на поверхности.

[ins-]

Thanks for the solution. As I said the problem is not difficult but I believe it is a beautiful fact it is the reason "for Sasha2" name.
It can be solved in many ways, using vectors:
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f ... #p16198144
And Cosine law and additional constructions.

[Dimoniada]

Для двух подобных и одинаково ориентированных $n$-угольников выполняется следующее утверждение:
если сопоставить каждой паре соответствующих вершин наших $n$-угольников точку по "определённому правилу", то все эти новые точки образуют $n$-угольник подобный данным (и одинаково с ними ориентированный).
В нашем случае "сопоставление по определённому правилу" это выбор середины отрезка, соединяющего соответствующие вершины правильных треугольников.