Измеримые множества

[terminator-II]

Пусть $D\subset \mathbb{R}^m=\{x\}$ -- ограниченная область. Рассмотрим функцию $f(t,x)\in C([0,T],L^2(D))$.
Введем множества $D(t)=\{x\in D\mid f(t,x)>0\}$.

Верно ли что множество $\bigcap_{t\in [0,T]}D(t)$ измеримо?

[AD]

Ладно, пока никто ничего не пишет, пару своих мыслей тут напишу. Нельзя такую задачу без внимания оставлять!

Вопрос. Можно ли при этих условиях на $f$ для любого $\varepsilon>0$ придумать такую непрерывную на $[0,T]\times D$ функцию $g_\varepsilon$, что (внешняя?) мера проекции на $D$ множества точек, в которых $f\neq g_\varepsilon$, меньше $\varepsilon$? Это некое усиление C-свойства Лузина. Если это верно, то дальше вроде всё просто.

P.S. Кстати, а разрешается ли верить, что $f$ измерима на произведении $[0,T]\times D$? А то я не уверен, что это следует из условия (тоже интересный вопросик)

[Хорхе]

terminator-II в сообщении #353404 писал(а):

Рассмотрим функцию $f(t,x)\in C([0,T],L^2(D))$.
Введем множества $D(t)=\{x\in D\mid f(t,x)>0\}$.

Вообще меня учили, что $L^2(D)$ -- это множество классов эквивалентности, в свете чего определение $D(t)$ некорректно. Ну да ладно, пусть будет отображение из $[0,T]$ в множество квадратично интегрируемых функций, непрерывное относительно среднеквадратичной метрики.

Ну так контрпример легко придумать. Перенумеруем точки неизмеримого подмножества $D$ точками $[0,T]$: $\{x_t,t\in[0,T]\}$, и положим $f(t,x)=\mathbf 1_{D\setminus\{x_t\}}(x)$.

-- Сб сен 18, 2010 12:41:03 --

Вот, может быть, содержательный вопрос: есть непрерывное отображение $f\colon [0,T]\to L^2(D)$. Всегда ли можно так выбрать представителей для каждого $t$, что множество $D$ in question измеримо?

[AD]

Я так понял задачу, что $f(t,x):[0,T]\times D\to\mathbb{R}$ всюду определена, непрерывна по $t$ при всех $x$ и $L^2$ по $x$ при всех $t$.

[terminator-II]

Хорхе в сообщении #353671 писал(а):

Вообще меня учили, что $L^2(D)$ -- это множество классов эквивалентности, в свете чего определение $D(t)$ некорректно

Видите ли в чем дело. В этой науке есть определенные соглашения по умолчанию. Например, когда пишут, что $H^1[0,T]\subset C[0,T]$ (теорема вложения Соболева) это тоже некорректно, формально говоря. Ибо $H^1[0,T]$ тоже состоит из классов эквивалентности, а $C[0,T]$ нет. Соответствующая переформулировка теоремы вложения и моей задачи -- это Вам в качестве упражнения.

Хорхе в сообщении #353671 писал(а):

Ну так контрпример легко придумать. Перенумеруем точки неизмеримого подмножества $D$ точками $[0,T]$: $\{x_t,t\in[0,T]\}$, и положим $f(t,x)=\mathbf 1_{D\setminus\{x_t\}}(x)$.

Эта функция неизмерима ни при каком $t$, к сформулированной задаче это отношения не имеет.

[AD]

Скажите, а какие у нас есть обобщения теоремы Вейерштрасса о максимуме непрерывной на компакте функции для функций со значениями в векторных решетках? (Это вроде имеет прямое отношение к задаче в обеих формулировках - и в моей, и в правильной)

-- Сб сен 18, 2010 13:26:00 --

Так-так-так.

terminator-II в сообщении #353692 писал(а):

Хорхе в сообщении #353671 писал(а):

Ну так контрпример легко придумать. Перенумеруем точки неизмеримого подмножества $D$ точками $[0,T]$: $\{x_t,t\in[0,T]\}$, и положим $f(t,x)=\mathbf 1_{D\setminus\{x_t\}}(x)$.

Эта функция неизмерима ни при каком $t$, к сформулированной задаче это отношения не имеет.

Думаю, это надо читать так:

Хорхе в сообщении #353671 почти писал(а):

Ну так контрпример легко придумать. Перенумеруем точки неизмеримого подмножества $\color{red} E$ точками $[0,T]$: $\{x_t,t\in[0,T]\}$, и положим $f(t,x)=\mathbf 1_{D\setminus\{x_t\}}(x)$.

Но к моей формулировке не прокатывает

[terminator-II]

AD в сообщении #353697 писал(а):

Думаю, это надо читать так:
Хорхе в сообщении #353671 почти wrote:
Ну так контрпример легко придумать. Перенумеруем точки неизмеримого подмножества $\color{red} E$ точками $[0,T]$: $\{x_t,t\in[0,T]\}$, и положим $f(t,x)=\mathbf 1_{D\setminus\{x_t\}}(x)$.

Разумеется можества $D(t)$ опредлены с точностью до множества меры нуль.
и разумеется $\mathbf 1_{D\setminus\{x_t\}}(x)=\mathbf 1_{D}(x)$

AD в сообщении #353697 писал(а):

Скажите, а какие у нас есть обобщения теоремы Вейерштрасса о максимуме непрерывной на компакте функции для функций со значениями в векторных решетках? (Это вроде имеет прямое отношение к задаче в обеих формулировках - и в моей, и в правильной)

это очень интересно, попробую порыться в Эдвардсе, где это еще может быть не представляю.

[AD]

terminator-II в сообщении #353705 писал(а):

Разумеется можества $D(t)$ опредлены с точностью до множества меры нуль.

А с точностью до чего тогда определено их пересечение? (задумался)

[terminator-II]

AD в сообщении #353707 писал(а):

terminator-II в сообщении #353705 писал(а):

Разумеется можества $D(t)$ опредлены с точностью до множества меры нуль.

А с точностью до чего тогда определено их пересечение?

Можно ли так пошевелить (с точностью до множества меры нуль) каждое из множеств $D(t)$,
что их пересечение будет измеримым.

[AD]

Вроде ясно, что всегда можно пошевелить по одной точке на множество так, что пересечение станет пустым.

[terminator-II]

Да, действительно. Тему можно закрывать

[AD]

terminator-II в сообщении #353713 писал(а):

Тему можно закрывать

Э-э-эй! Куда!! А мою задачку кто решать будет?? Держи его!... Эхх ...

[terminator-II]

Какую задачку?

[AD]

То есть вот такая задачка сформировалась по ходу обсуждения.

$f:[0,1]^2\to\mathbb{R}$ (т.е. всюду определена), $\forall x\in[0,1]$ $f(\cdot,x)\in C[0,1]$, $\forall t\in[0,1]$ $f(t,\cdot)$ измерима. Можно ли утверждать, что измерима функция $g(x)=\min\limits_{t\in[0,1]}f(t,x)$?

-- Сб сен 18, 2010 13:50:20 --

То есть эта формулировка эквивалентна моему неправильному пониманию Вашей задачи, для простоты переформулированной на отрезок.

[terminator-II]

Периодически люди возбуждаются по такому поводу. Функции из $L^p(D,L^k(M))$ измеримы в $D\times M$ или нет?. Вот один товарищ мне недавно сказал, что он умеет доказывать измеримость если $D$ и $M$ отрезки. В общем случае, ничего не известно. На сколько мне известно