Функциональные последовательности (пример)

[wall-e]

Товарищи, помогите привести пример функциональной последовательности $f_n$ на $[0,1]$, которая непрерывна на этом отрезке. Для которой для любого $x$ верно $f_n(x)\to0$ (поточечно), а $\int \limits_{0}^{1} f_n(x)\, dx=1$

-- Пн сен 13, 2010 21:09:48 --

Ребят это на завтра(((оч надо. Пожалуйста, напишите еще доказтельства того что она будет сходится к нулю, а интеграл будет равен единице.

[ИСН]

Опять-таки сужающаяся ступенька поможет.

[Alexey1]

Возьмите треугольник с основанием на оси $x$ и зависящем от $n$, причём чем больше $n$, тем меньше основание. Меняя высоту треугольника (в зависимости от $n$) можно сделать так, что его площать всегда равна 1.

[wall-e]

Alexey1
ИСН
Ссори, господа( я ума не приложу как это в функцию записать.
зы: а последовательность вида $f_n(x)=\chi_{(0,\frac1n)}(x)$ не удовлетворяет условиям моим?

[ИСН]

Удовлетворяет, кроме того, что она не непрерывна.
Ах да, и интеграл у неё не 1. Хреново удовлетворяет.

[wall-e]

ой.... тупанул... эт да.

-- Пн сен 13, 2010 22:00:43 --

ну тогда у меня идеи отсутствуют( ( по крайней мере разумные)

-- Пн сен 13, 2010 22:08:06 --

ребят, тогда подскажите плиз подходящий пример(

[Alexey1]

А почему не хотите треугольник?

[wall-e]

Alexey1
я не знаю как это функцией описать(

-- Пн сен 13, 2010 22:18:06 --

нужно пример привести чтоб прям функция получилась

[ИСН]

Треугольник состоит из трёх прямых. Прямую знаете как функцией описать?

[Alexey1]

Например, эта функция описывает равнобедренный треугольник с онованием на отрезке $[0;1]$ и высотой 1

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x, & x\in \Big[0;\frac{1}{2}\Big],\\ -2x+2, & x \in \Big[\frac{1}{2};1\Big],\\ 0, & x \in \mathbb R \backslash [0,1]. \end{array}$$

[gris]

Только надо следить, чтобы вершина треугольника сдвигалась и по горизонтали.
Может быть типа $f_n(x)=nf(nx)$, где $f(x)$ - функция Alexey1

Мне кажется, что автор имел в виду основные функции, финитные на $\left[\dfrac1{n+1};\dfrac1{n}\right]$ с интегралом 1. Они же как-то обозначаются?