Производная в полярных координатах (геометрический смысл)

[Tino]

Подскажите, пожалуйста, геометрический смысл производной в полярных координатах. Можно из нее как-нибудь угол наклона касательной получить?

[Alexey1]

Tino в сообщении #351999 писал(а):

Можно из нее как-нибудь угол наклона касательной получить?

Если $r=f(\theta)$, то можно найти $\frac{dx}{d\theta}, \ \frac{dy}{d\theta}$, а отсюда уже получить $\frac{dy}{dx}$.

[meduza]

Tino в сообщении #351999 писал(а):

геометрический смысл производной в полярных координатах.

Логарифмическая производная от радиуса-вектора по углу равна котангенсу угла между радиусом-вектором и касательной к данной точке.

[Tino]

Бр-р-р, а откуда взять? Совсем не понимаю

-- Пн сен 13, 2010 19:23:11 --

meduza Спасибо! А не знаете, как доказать? Просто интересно. Предположение такое у меня было, но обосновать не получилось.

[Alexey1]

Если $r=f(\theta)$, то $x(\theta)=f(\theta)\cos(\theta), y(\theta)=f(\theta)\sin(\theta)$. А теперь дифференцируйте эти функции $x,y$ по $\theta$.

[Tino]

Надо же, как все просто! А я не додумалась. Спасибо!

[meduza]

Tino в сообщении #352028 писал(а):

meduza Спасибо! А не знаете, как доказать? Просто интересно. Предположение такое у меня было, но обосновать не получилось.

Легко доказывается. Точно есть в учебнике Пискунова "Диф. и инт. исчисления" и наверное есть в Фихтенгольце. Кстати, из этого факта можно и угол наклона касательной найти -- из треугольника.