Общее решение линейного дифура второго порядка.

[truth]

Итак, у нас есть дифур вида $a\frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx}+cy = 0$.
Его общее решение, в случае, если дискриминант характерестического уравнения меньше нуля вот такая функция: $y = \exp{\alpha x}(C_1 \cos{\beta x} + C_2 \sin{\beta x})$, где $\alpha $ - действительная часть комплексно-сопряжённого корня характерестического уравненмя, $\beta$ - его мнимая часть.
Вопрос. Константа $C_2$ - комплексная?

[Alexey1]

Не обязатально, смотря какое решение ищете, $C_2$ может быть комплексным числом.

[truth]

Цитата:

смотря какое решение ищете

Нет, в общем виде.
Попробую изложить так, как я понял.
Решение этого дифура будем искать в виде суперпозиции двух функций: $y=C_4\exp{(\alpha+i\beta) x} + C_0\exp{(\alpha-i\beta) x}$, поковырявшись со степенями и применяя формулу Эйлера: $\exp{i\beta x} = \cos{\beta x} + i \sin{\beta x}$, получаем $\exp{\alpha x}((C_4 +C_0)\cos{\beta x} +(C_4 i - C_0 i)\sin{\beta x})$, вот и получается, что $(C_4+C_0)i = C_2$ - комплексна в общем случае,

Цитата:

если дискриминант характерестического уравнения меньше нуля

.

[Alexey1]

truth в сообщении #351971 писал(а):

вот и получается, что $(C_1+C_0)i = C_2$ - комплексна в общем случае.

Вы имели ввиду минус? А в чём вопрос?

[truth]

Цитата:

Вы имели ввиду минус?

$i$ - мнимая еденица.

Цитата:

А в чём вопрос?

Цитата:

Константа $C_2$ - комплексная?

[Alexey1]

Ну Вы сами вывели решение, где константа $C_2=i(C_4-C_0)$ - этот минус я имел ввиду. Может она быть комплексной?

[truth]

Цитата:

Ну Вы сами вывели решение

Я хотел услышать, правильное ли оно, в том числе - по поводу комплексности $C_2$.

[Alexey1]

Правильное. И константа $C_2$ в общем случае комплексное число.

[truth]

Ну и отлично, спасибо.

[Someone]

truth в сообщении #351971 писал(а):

Решение этого дифура будем искать в виде суперпозиции двух функций: $y=C_4\exp{(\alpha+i\beta) x} + C_0\exp{(\alpha-i\beta) x}$, поковырявшись со степенями и применяя формулу Эйлера: $\exp{i\beta x} = \cos{\beta x} + i \sin{\beta x}$, получаем $\exp{\alpha x}((C_4 +C_0)\cos{\beta x} +(C_4 i - C_0 i)\sin{\beta x})$, вот и получается, что $(C_4+C_0)i = C_2$ - комплексна в общем случае

Если Вы ищете комплексные решения, то Ваши $C_0$ и $C_4$ - произвольные комплексные числа, и тогда обе константы $C_1=C_4+C_0$ и $C_2=i(C_4-C_0)$ могут быть комплексными. Если же Вы ищете действительные решения, то Вы должны выбирать такие $C_0$ и $C_4$, чтобы $C_1$ и $C_2$ были действительными. Для этого $C_0$ и $C_4$ должны быть комплексно сопряжёнными (фактически $C_4=\frac 12(C_1-C_2i)$, $C_0=\frac 12(C_1+C_2i)$).