Задачка с пределом.

[C0rWin]

Дана $f$ функция дважды непрерыно дефференцируема на промежутке$(0,\infty)$ и выполняет
$\lim_{x\to 0+}f'(x) =-\infty , \lim_{x\to 0+}f''(x) =+\infty$

Доказать что: $\lim_{x\to 0+}\frac{f(x)}{f'(x)}= 0$

[C0rWin]

Кто-нибудь?
Может перенести тему в олимпиадные задачи?

[Руст]

Можете использовать такое соотношение:

$$\frac{f(x)}{f'(x)}=\frac{f(1)-f'(1)+xf'(x)+\int_x^1 f''(y)ydy }{f'(1)-\int_x^1f''(y)dy}$$

[sniffer]

Есть другое предложение...
По данным, f(x) выпуклая в близкой среде нуля.

Если же функция не идёт в плюс бесконечность,
тогда задача тривиальна.
Займёмся не тривиальным случаем, а значит:

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } f(x) = +\infty \]

От противного предположим что существует

\[ \varepsilon _0 > 0 \]

, так чтобы для любой

\[ \delta > 0 \]

найдётся

\[ 0 < x_0 < \delta \]

, для которого будет удовлетворятся:

\[ \varepsilon _0 \le \left| {\frac{{f_{(x_0 )} }}{{f'_{(x_0 )} }}} \right| \]

Возьмём дельту так чтоб функция была выпуклая и положительная для всех
иксов которые меньше чем дельта, а производная была отрицательной для
иксов которые меньше чем дельта.
Из этого получим что в окрестности

\[ x_0 \]

функция выпуклая.
Теперь возьмём

\[x_0 < x_1 < \delta\]

.
Для любых

\[x_0 < x < x_1\]

будет выполнятся:

\[ \left| {\frac{{f_{(x_0 )} }}{{f'_{(x_0 )} }}} \right|\mathop \le \limits_1 \left| {\frac{{f_{(x)} - f_{(x_0 )} }}{{f'_{(x_0 )} }}} \right|\mathop \le \limits_2 \left| {\frac{{{\textstyle{{f_{(x_1 )} - f_{(x_0 )} } \over {x_1 - x_0 }}}}}{{f'_{(x_0 )} }}} \right|(x - x_0 )\mathop = \limits_3 \mathop {\left| {\frac{{f'_{(\theta )} }}{{f'_{(x_0 )} }}} \right|(x - x_0 )}\limits_{x_0 \le \theta \le x_1 } \mathop \le \limits_4 x - x_0 \]

То есть:

\[ \varepsilon _0 \le x - x_0 \]

, а этого не может быть, потому что

\[x\]

произволен.

Вкратце объясняю пункты:
1) Всего лишь отняли положительный кусок от положительной
функции, а кусок был меньше чем значение функции, из за монотонности.
2) Лемма наклонов в выпуклых функциях
3) Теорема Лагранжа
4) Данная производная, монотонно возрастающая функция в выбранном
дельта отрезке (выпуклость функции), то есть по модулю убывающая,
потому что отрицательная.