Максимум, минимум

[Andrey173]

Вот решаю домашнее задание. По программе углубленного изучения. В которой получилось так что учебник с теорией и задачник писали разные люди. В задачнике есть номера на решения неравенств с экстремумом, а в учебнике не слова о них. Когда дан экстремум двух выражений ($max(x1, x2) > n$ например) сделать не трудно. А если например дано сразу три выражения. Приходят в голову только два варианта: сравнить их все между собой, но это долго и графическим методом, но это не слишком удобно.

P.S. Как можно решить уравнение $2/x^2 \geq x + 1$. Там получается кубическое уравнение которые я еще не умею решать. На множители тоже не получается разложить. Получилось совмещением графического метода (построил гиперболу и прямую и нашел ноль функции) и метода интервалов (нахождения знака промежутков). Но может есть проще?

[Алексей К.]

В учебных задачах кубические уравнения обычно легко решаются: там один корень легко подбирается. Найти остальные --- простая техника. Ваше уравнение именно такое.

[Andrey173]

Какая техника?) У него же еще комплексные корни, а мы даже такие числа не изучали. Да и потом методом подбора некрасиво решать.

[Алексей К.]

Например, автор задачи захочет, чтобы один корень был двойкой. Сочинит уравнение типа $(x^2-5x+3)(x-2)=0,$ но раскроет скобки и подаст его Вам в виде $x^3+\ldots-6=0$. Очевидно, "хороший корень" надо искать подбором среди делителей шестёрки, т.е. $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$.

-- 10 сен 2010, 19:52 --

Корень $x=1$ не очень комплексный, мне кажется.

-- 10 сен 2010, 19:54 --

Метод обдуманного подбора для кубических уравнений изучается в школе. Ничего некрасивого: это важно знать и понимать.

-- 10 сен 2010, 19:57 --

А остальные корни (комплексные) для данного неравенства и не понадобятся. Просто тот хороший корень поможет Вам справиться с разложением на множители.

[Andrey173]

Про "хороший корень" буду знать) Но главный вопрос не в уравнении, а в экстремуме.

[Алексей К.]

Приводите конкретную задачку, Вам помогут. Не думаю, что в учебнике может быть тема "Задачи на экстремум двух выражений" (т.е. это просто слова неправильные). Что-то, что приводится к уже известным вещам.
А $x1$ пишется как $x_1$ и читается как $x_1$. Можно даже забацать $x_{1,2}$.

[Andrey173]

Ну да как конкретно читается не знаю)
$min (3x-1, 3/x-1, -1 -2/x) < 2$

[Andrey173]

А все я понял) Нужно решить совокупность трех систем.

[Null]

Надо решить совокупность 3 неравенств. Если хоть одно меньше 2, то полученный х удовлетворяет задаче.
Ну и учесть область определения.

[Andrey173]

Только не неравенств а систем. Это же минимум.

[AKM]

Неравенств. Совокупность трёх неравенств. Неравенств трёх совокупность решить надо.
И "же минимум" здесь ни при чём.

[Andrey173]

Вопрос исчерпан. Все понятно.

[gris]

Вам нужно понять саму задачу. Есть 4 варианта, при которых немного различается метод решения.

$\max(A,B,C)>a$. При каждом $x$ каждое из выражений $A,B,C$ принимает определённое значение. Мы хотим найти те $x$, при которых максимальное из этих трёх значений было бы больше $a$. Для этого достаточно, чтобы хотя бы одно значение было больше $a$. Рассмотрим три неравенства $A>a;\,B>a;\,C>a$. Каждое имеет решение. Объединим эти решения, то есть решим совокупность неравенств. Мы получим решение нашей задачи.

$\max(A,B,C)<a$. При каждом $x$ каждое из выражений $A,B,C$ принимает определённое значение. Мы хотим найти те $x$, при которых максимальное из этих трёх значений было бы меньше $a$. Для этого необходимо, чтобы все три значения были меньше $a$. Рассмотрим три неравенства $A<a;\,B<a;\,C<a$. Каждое имеет решение. Найдём пересечение этих решений, то есть решим систему неравенств. Мы получим решение нашей задачи.

$\min(A,B,C)<a$. При каждом $x$ каждое из выражений $A,B,C$ принимает определённое значение. Мы хотим найти те $x$, при которых минимальное из этих трёх значений было бы меньше $a$. Для этого достаточно, чтобы хотя бы одно значение было меньше $a$. Рассмотрим три неравенства $A<a;\,B<a;\,C<a$. Каждое имеет решение. Объединим эти решения, то есть решим совокупность неравенств. Мы получим решение нашей задачи.

$\min(A,B,C)>a$... Аналогично.

[Andrey173]

gris, Алексей К., Null, AKM(Я все понимаю с первого раза. Просто до этого я имел немного другое представление что такое экстремум.)
Спасибо вам.
gris
Сейчас я как раз так и понял)

[Andrey173]

У меня вот тут ответ с учебником расходится. Проверьте все правильно делаю?
$min (3x -1, 3/x - 1, -1 - 2/x) < 2$. Как сказал gris решаем совокупность трех неравенств.
1)$ 3x -1 <2 \to 3x < 3 \to x<1$. Решение - интервал $(-\infty, 1)$
2)$ 3/x - 1 <2 \to 3/x < 3 \to 1/x <1$. Решение - объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$
3)$-1-2/x < 2 \to -2/x <3 \to 2/x + 3 > 0 \to (2+3x)/x >0$. Решение - объединение интервалов $ (-\infty, -2/3) \cup (0, \infty)$
Совокупность этих трех неравенств - множество действительных чисел. Все правильно?