Найти экстремум функций трех переменных

[zhulien saroyan]

u =(x - ξ)^2 + (y - η)^2 + (z - ζ)^2
Ax+By+Cz=0
x^2+y^2+z^2=1
Cos[α]^2 + Cos[β]^2 + Cos[γ]^2 =1
ξ/Cos[α] =η/Cos[β] =ζ/Cos[γ]

[Null]

что тут переменные?

[zhulien saroyan]

x, y, z

-- Пт сен 10, 2010 14:19:37 --

x^2+y^2+z^2=R^2 вместо x^2+y^2+z^2=1, пардон!

[Null]

Тогда последние 2 строчки не нужны.

Выписываем функцию Лиувилля $L=\lambda_0((x - \xi)^2 + (y - \eta)^2 + (z - \zeta)^2)+\lambda_1(Ax+By+Cz)+\lambda_2(x^2+y^2+z^2-R^2)$
надо решить систему:
${L'}_x=0$
${L'}_y=0$
${L'}_z=0$
$Ax+By+Cz=0$
$x^2+y^2+z^2=R^2$
$\lambda_0^2+\lambda_1^2+\lambda_2^2>0$

[zhulien saroyan]

Vse 4to dano, vse nujno. Lagrangian i neobxodimoe uslovie dlya uslovnogo ekstremuma toje, dva mnojitelya lagranja na6el, ne polu4aetsya ξ, η, ζ 4erez Cos[α], Cos[β], Cos[γ] virazit. V kone4nom otvete ξ, η, ζ 4erez cosinusi virajeni.

[Null]

У вас же $\xi,\eta,\zeta$ даны. Вы сами так сказали.

[zhulien saroyan]

maksimum funkcii u= R^2, a minimum - u= R^2(A cos(alpha)+B cos(beta)+C cos(gamma))/(A^2+B^2+C^2)

-- Пт сен 10, 2010 14:41:29 --

Dano uravnenie svyazi ξ, η, ζ 4erez cosinusi

[Null]

Напишите пожалуйста правильное условие вашей задачи в техе и на русском языке. А то, то что вы решаете и то, что сформулировали явно не совпадает.

[zhulien saroyan]

ya dva mnojitelya lagranga vivel: lambda(1)= 2*(Aξ+Bη+Cζ)/(A^2+B^2+C^2)
lambda(2) takje virazil 4erez A,B,C, ξ, η, ζ, R. Teper glavnoe kak-to virazit ξ, η, ζ 4erez cosinusi

-- Пт сен 10, 2010 15:30:06 --

Найти точки условного экстремума $u=(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2$,
если $Ax+By+Cz=0$
$x^2+y^2+z^2=R^2$
$\xi/cos\alpha)=\eta/cos\beta=\zeta/cos\gamma$, где $cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1$

[zhulien saroyan]

$L=(x-\xi)^2-(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2+\lambda_1(Ax+By+Cz)+\lambda_2(x^2+y^2+z^2-R^2)$

$\frac{\partial L}{\partial x}=2(x-\xi)+\lambda_1A+2\lambda_2x=0$
$\frac{\partial L}{\partial y}=2(y-\eta)+\lambda_1B+2\lambda_2y=0$
$\frac{\partial L}{\partial z}=2(z-\zeta)+\lambda_1C+2\lambda_2z=0$
$\frac{\partial L}{\partial \lambda_1}=Ax+By+Cz=0$
$\frac{\partial L}{\partial \lambda_2}=x^2+y^2+z^2-R^2=0$

Откуда: $\lambda_1=2\frac{A\xi+B\eta+C\zeta}{A^2+B^2+C^2}$

-- Пт сен 10, 2010 15:57:48 --

a $\lambda_2$ получается тоже через $\xi$, $\eta$, $\zeta$, и $A$, $B$, $C$, $R^2$

-- Пт сен 10, 2010 16:03:09 --

$x=\frac{2\xi-\lambda_1A}{2(1+\lambda_2)}$
$y=\frac{2\eta-\lambda_1B}{2(1+\lambda_2)}$
$z=\frac{2\zeta-\lambda_1C}{2(1+\lambda_2)}$
это корни

-- Пт сен 10, 2010 16:06:15 --

Как поступить дальше?

-- Пт сен 10, 2010 16:15:56 --

$R^2=\frac{4(\xi^2+\eta^2+\zeta^2)-4\lambda_1(A\xi+B\eta+C\zeta)+\lambda_2^2(A^2+B^2+C^2)}{4(1+\lambda_2)^2}$

-- Пт сен 10, 2010 16:28:47 --

$\frac{\xi}{cos\alpha}=\frac{\eta}{cos\beta}=\frac{\zeta}{cos\gamma}$, где
$cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1$

[Null]

Я думаю у вас 6 переменных.

И еще на лекциях по математическому анализу и общим проблемам управления перед самой функцией тоже ставили $\lambda$, а то могут пропускаться экстремумы

[zhulien saroyan]

согласен

-- Пт сен 10, 2010 16:48:54 --

Надо все выразить через $x,y,z, A, B, C, $

[Null]

тогда $x,y,z$ выражать не надо.

я думаю у вас нужно выражать $x,y,z,\xi, \eta, \zeta$ через $A,B,C,\alpha,\beta,\gamma$

[zhulien saroyan]

а $\xi, \eta, \zeta$ выразить через $cos\alpha, cos\beta, cos\gamma $, учитывая, что $\frac{\xi}{cos\alpha}=\frac{\eta}{cos\beta}=\frac{\zeta}{cos\gamma}$$cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1$

[Null]

Напишите функцию Лагранжа. В ней должно быть 5 разных лямбд.