Неравенство для степеней

[Andrey173]

Вот задача из вступительного экзамена в физико-математическую школу. Я ее решил, но не уверен точно правильное ли решение.
Задача - Докажите, что если m и n два натуральных числа, то одно из чисел $m^{1/n}$ , $n^{1/m}$ не больше, чем $3^{1/3}$.
Решение - Возможны две ситуации. $m=n$ и $m\ne n$.
Рассмотрим первую, и докажем что $m^{1/m} \leq 3^{1/3}$. При $m=3;$ $m^{1/m}= 3^{1/3}$. При $m={1,2,4};$ $m^{1/m} < 3^{1/3}$. Теперь воспользуемся методом индукции. Индукция по m, база $m=4$. Примем неравенство $m^{1/m} \leq 3^{1/3}$ верным и докажем ${(m+1)}^{1/{(m+1)}} \leq 3^{1/3}$. Из неравенства $m^{1/m} \leq 3^{1/3}$ следует что $m^3<3^m$. Также ${(m+1)}/m\leq 1.25$ при $m>3$ и $m \in N$. Отсюда следует что ${((m+1)/m)}^3 < 3$. Далее умножаем эти два неравенства сохраняя знак неравенства.${((m+1)/m)^3}*m^3 < 3^m *3 \to (m+1)^3<3^{(m+1)}$ что и требовалось доказать.
Рассмотрим вторую ситуацию. Для определенности примем $m<n$ и рассмотрим число $m^{(1/n)}$. Т.к. m меньше $m^{(1/n)}<n^{(1/n)}$. Но по доказанному $n^{(1/n)} \leq 3^{(1/3)}. Что и требовалось доказать.

[Sasha2]

А в чем суть то этой задачи. В ряду чисел $\[\sqrt 2 , \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{4},..., \sqrt[n]{n},...\]$ наибольшим является второе.
Поэтому, после записи неравенств $\[{n^{\frac{1}{n}}} \leqslant \sqrt[3]{3}\]$ и $\[{m^{\frac{1}{m}}} \leqslant \sqrt[3]{3}\]$ остается только выбрать то из них, в котором одно из двух данных натуральных чисел наименьшее, или любое из них при равенстве оных.

[Andrey173]

Вот написал решение.

Sasha2 в сообщении #350521 писал(а):

А в чем суть то этой задачи. В ряду чисел наибольшим является второе.

Это нужно еще доказать)

[Sasha2]

Это легко доказывается из очевидного неравенства $(\frac{n+1}{n})^n<e$.
То есть это факт как 2 на 2 четыре.

[Andrey173]

e это что?)

[Sasha2]

А ну все понятно. Вы уж извините меня. Я не понял сразу, что Вы еще школьник.

[Andrey173]

Ага. В 9ом классе)

[Sasha2]

Ну в таком случае я бы порекомендовал Вам почитать книжку Коровкин "Неравенства" из серии Популярные лекции по математике.
Взять можно тут: http://www.math.ru/history/people/korovkin_pp.

[Andrey173]

Спасибо. У меня в доказательстве ошибок нету?

[Sasha2]

Ну у Вас тоже верно ничего не скажешь.

[Andrey173]

Хорошо!) А то я 5 дней голову ломал