Странный интеграл

[buba987]

Сломал голову - не берется такой определенный интеграл

$\int \limits _0^{\infty} \frac {1-x \cdot ctg(x)}{x^2} \, dx \,$

Ни один матпакет его не берет. Разложение в ряд тоже ни к чему не привело. Как подступиться к такому чудовищу? Имеет ли интеграл конечное значение?

[ИСН]

На каком-то форуме, не помню, уже объясняли одному человеку (не Вам ли?), что интеграл расходится в точках $\pi$, $2\pi$, и так далее. И что говорить о нём можно только в смысле главного значения, if at all.

[buba987]

Нет не мне. Я его пытался решить, чтобы помочь. Форум был кажется exponenta

[buba987]

Получил письмо от английского математика Ben Green , в котором он привел изумительное по изяществу решение задачи. Правда, на двух страницах и без единого комментария. Результат: интеграл равен в точности $ \frac {\pi}{2} $ .

[pronix]

buba987, не могли бы вы выложить решение математика Ben Green или хотя бы ссылку дать. Буду очень признателен.

[Полосин]

Рассмотрите интеграл по контуру, ограниченному верхними полуокружностями малого радиуса с центрами в ненулевых точках, кратных $\pi$, верхней полуокружностью радиуса $\pi(N+1/2)$ с центром в нуле и соответствующими отрезками вещественной оси.