БТФ не верна в кольце, порожденном корнем 3-й степени из 1

[Ales]

Например: $(\frac {-1+i\sqrt3} 2)^5+(\frac {-1-i\sqrt3} 2)^5=(-1)^5$.

Это тоже кольцо главных идеалов.

Из этого следует, что доказательство Большой Теоремы Ферма должно опираться на некоторые свойства целых чисел, которые не сохраняются в их расширении до кольца, порожденного корнем третьей степени из единицы - $(\frac {-1+i\sqrt3} 2)$.

[AD]

Неплохой тестик для доказательств! Типа как "не проходит для n=2", да?

[Коровьев]

Ales в сообщении #350090 писал(а):

Из этого следует, что доказательство Большой Теоремы Ферма должно опираться на некоторые свойства целых чисел, которые не сохраняются в их расширении до кольца, порожденного корнем третьей степени из единицы - $(\frac {-1+i\sqrt3} 2)$.

Именно таким методом, введением идеалов, полтораста лет назад Куммер и доказал БТФ для всех простых показателей. Но нашлась заковырка для некоторых простых показателей, как потом выяснилось для бесконечного множества простых. Это заковырка, когда число классов идеалов(дивизоров) делится на показатель, обернулась крахом доказательства.
Подробнее, во многих учебниках по теории чисел.

[Ales]

AD в сообщении #350394 писал(а):

Неплохой тестик для доказательств! Типа как "не проходит для n=2", да?

Скорее интересно: в чем отличие этих колец, что БТФ верна для целых и не верна для целых вида $a+be^{\frac {2\pi i} 3}$.

-- Вт сен 07, 2010 22:57:13 --

Или это просто тривиальное свойство единиц?

-- Вт сен 07, 2010 23:00:45 --

Ну и как тест тоже годится. Не везде, конечно.

[Коровьев]

Ales в сообщении #350419 писал(а):

Скорее интересно: в чем отличие этих колец, что БТФ верна для целых и не верна для целых вида $a+be^{\frac {2\pi i} 3}$.

Э, дык Куммер и доказал что она БТФ верна для алгебраических целых чисел кольца${\mathop{\rm R}\nolimits} \left( {e^{\frac{{2\pi i}}{p}} } \right)$
К сожалению, не для всех простых. Но для $p=3, 5, 7,11, 13$ (дальше не помню) его доказательство верно.