Варьирование действия в СТО

[ololotrololo]

Ландау, Лифшиц, том 2, стр. 48:
$\delta S = -mc \delta \int\limits_a^b ds = 0$,
$ds = \sqrt {dx_i dx^i}$ $\Rightarrow$
$\delta S = -mc \int\limits_a^b \frac {dx_i \delta dx^i} {ds}$
Мне непонятно, почему здесь вариация от четырехмерной скорости равна нулю.

[Alex-Yu]

$ds=ds^2/ds=dx^idx_i/ds=\frac{dx^i}{ds}dx_i$

[Александр Т.]

Alex-Yu в сообщении #345975 писал(а):

$ds=ds^2/ds=dx^idx_i/ds=\frac{dx^i}{ds}dx_i$

Отсюда всего лишь следует, что

$$\delta S = -mc \delta \int\limits_a^b ds = -mc \delta \int\limits_a^b \frac {dx_i}{ds} dx^i .$$

Далее (с учетом того, что вариация на концах контура интегрирования равна нулю) имеем

$$\delta S = -mc \delta \int\limits_a^b \frac {dx_i}{ds} dx^i = - mc \int\limits_a^b \delta \frac {dx_i}{ds} dx^i - mc \int\limits_a^b \frac {dx_i}{ds} \delta dx^i .$$

И вопрос, который

ololotrololo в сообщении #339653 писал(а):

почему здесь вариация от четырехмерной скорости равна нулю.

остается без ответа.

На самом деле, конечно, вопрос должен звучать так: "Почему здесь интеграл $\int\limits_a^b \delta \frac {dx_i}{ds} dx^i$ равен нулю?"

ololotrololo в сообщении #339653 писал(а):

Ландау, Лифшиц, том 2, стр. 48:
$\delta S = -mc \delta \int\limits_a^b ds = 0$,
$ds = \sqrt {dx_i dx^i}$ $\Rightarrow$
$\delta S = -mc \int\limits_a^b \frac {dx_i \delta dx^i} {ds}$

Здесь пропущена следующая цепочка.

$$ ds = \sqrt {dx_i dx^i} \Rightarrow \delta ds = \dfrac {\delta dx_i dx^i + dx_i \delta dx^i} {2\sqrt {dx_i dx^i}} . $$

Поскольку для любых 4-векторов $a^i$ и $b^i$ $a^ib_i=a_ib^i$, то

$$ \delta dx_i dx^i + dx_i \delta dx^i = \delta dx^i dx_i + dx_i \delta dx^i = $$ $$ = dx_i \delta dx^i + dx_i \delta dx^i = 2dx_i \delta dx^i $$

Таким образом,

$$ \delta ds = \dfrac{dx_i \delta dx^i}{\sqrt {dx_i dx^i}} = \dfrac{dx_i \delta dx^i}{ds} = \dfrac{dx_i}{ds} \delta dx^i = \dfrac{dx_i}{ds} d\delta x^i . $$

Следовательно (с учетом того, что вариация на концах контура интегрирования равна нулю)

$$ -mc \delta \int\limits_a^b ds = -mc \int\limits_a^b \dfrac{dx_i}{ds} d\delta x^i = -mc \int\limits_a^b u_i d\delta x^i . $$

(Кстати)

Из вышеизложенного следует, что $\int\limits_a^b \delta \frac {dx_i}{ds} dx^i=0$.