Как подсчитать? (формула для числа пи)

[C0rWin]

Каким образом можно подсчитать/доказать что:\sum {\frac{1}{{n^2 }}} = \frac{{\pi ^2 }}{6} в частности интересуют способы не использующие ряд арксинусов.

[Аурелиано Буэндиа]

можно решить через интегралы

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\int_0^{\infty}dx\int_x^{\infty} \frac{dt}{e^t-1}=\frac{\pi^2}{6} $$

[C0rWin]

Это конечно здорово, но мне не совсем понятен переход. Можно по подробнее (если не затруднит)?

[Аурелиано Буэндиа]

ну разумеется не затруднит. Нужно воспользоваться равенством

$$ \frac{1}{n^2}= \int_0^{\infty} dx \int_x^{\infty} dt\, e^{-nt} $$

ну а дальше вычисляем сумму геометрической прогрессии

$$ \sum_{n=1}^{\infty} q^n=\frac{q}{1-q}, \ \ \ \ q=e^{-x}. $$

[C0rWin]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

ну разумеется не затруднит. Нужно воспользоваться равенством

$$ \frac{1}{n^2}= \int_0^{\infty} dx \int_x^{\infty} dt\, e^{-nt} $$

^^^^^^ ?????? Откуда равенство? Тут ничего не напутно?

Аурелиано Буэндиа писал(а):

ну а дальше вычисляем сумму геометрической прогрессии

$$ \sum_{n=1}^{\infty} q^n=\frac{q}{1-q}, \ \ \ \ q=e^{-x}. $$

^^^^^Вот тут можно подробнее?

[Аурелиано Буэндиа]

равенство

$$ \frac{1}{n^2}= \int_0^{\infty} dx \int_x^{\infty} dt\, e^{-nt} $$

я сам сконструировал. Можно вычислить интегралы при $n>0$ и убедиться, что оно верно.
Cобственно, нет времени расписывать очень подробно (все довольно тривиально). Ключевое равенство

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \int_0^{\infty}dx \int_x^{\infty}dt \ \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nt} $$

ну а дальше стандартные формулы для геометрической прогрессии

[Brukvalub]

Есть еще способ, основанный на разложении в ряд Фурье функции
$y = x^2 $ на интервале$( - \pi \;,\;\pi )$ по косинусам кратных дуг.

[Capella]

Brukvalub писал(а):

Есть еще способ, основанный на разложении в ряд Фурье функции
$y = x^2 $ на интервале$( - \pi \;,\;\pi )$ по косинусам кратных дуг.

Да, это классический пример на равенство Бесселя (делать через коэффициенты ряда Фурье - можно как комплексных, так и реельных). По моему, если хорошо поискать, на форуме должно быть в решённом виде.

Добавлено спустя 6 минут 7 секунд:

C0rWin писал(а):

Аурелиано Буэндиа писал(а):

$$ \sum_{n=1}^{\infty} q^n=\frac{q}{1-q}, \ \ \ \ q=e^{-x}. $$

^^^^^Вот тут можно подробнее?

Да это конечно-же не для всех $q$, а для тех которые меньше 1.

[незваный гость]

Есть еще и эйлеровский способ, основанный на разложении синуса в произведение $\sin x = x \prod\limits_{n=1}^\infty (1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$. Из него Эйлер делает вывод о коэффициете при $x^3$, и приравнивает третью производную левой и правой части. (Все это содержит элементы весьма сомнительной формальности, включая объяснение разложения синуса в произведение. Но это исторически первый способ решения данной задачи.)