Кватернионы: смысл применения

[t3rmin41]

Хотелось бы узнать, в чём смысл применения кватернионов (особенно, почему используется именно такая таблица умножения i,j,k) и в чём их преимущество перед, скажем, векторными операциями.
Примеры, ссылки в Гугле приветствуются.

[nestoklon]

Кватернионы образуют алгебру, а векторы нет.

[Kitozavr]

Кватернионы можно использовать при расчёте 3D графики.
http://wat.gamedev.ru/articles/quaternions

[nestoklon]

Kitozavr в сообщении #347423 писал(а):

Кватернионы можно использовать при расчёте 3D графики.

Угу. Только это знание не будет полным без понимания того, чем в этом контексте кватернионы лучше матриц поворота.

[maxmatem]

Ну такая таблица оправдана когда надо перемножить между собой кватернионы.

[мат-ламер]

Кватернионы имеют многочиссленные применения в механике и физике. Четырёхмерный мир Минковского можно описать с помощью кватернионов. При этом времени соответствует действительная часть кватерниона (с множителем $c$), а трём пространственным ортам - кватернионные мнимые единицы. Отсюда и пошли обозначения для этих ортов - $i,j,k$. См. статью про кватернионы в Википедии.

[t3rmin41]

Цитата:

Кватернионы можно использовать при расчёте 3D графики

эту статью я видел. А чем (точнее, наверное, когда) кватернионы лучше векторов?

Цитата:

Ну такая таблица оправдана когда надо перемножить между собой кватернионы.

Почему она именно так выглядит, а не скажем по-другому?

[nestoklon]

t3rmin41 в сообщении #347476 писал(а):

А чем (точнее, наверное, когда) кватернионы лучше векторов?

Тем, что поворот вектором описывать неудобно. Имея два вектора поворота, довольно муторно искать вектор который соответствует двум последовательным поворотам. Кватернионы достаточно перемножить. Учтывая, что само пространство тоже можно описывать кватернионами, и при этом кватернионы в отличие от векторов можно смело умножать друг на друга, это заметно упрощает некоторые операции. Тяжелее всего говорят в 3D моделировании даётся интерполяция поворотов. На кватернионном языке достаточно взять линейную комбинацию кватернионов поворота. Для векторов подобная процедура будет черезвычайно сложной.

t3rmin41 в сообщении #347476 писал(а):

Почему она именно так выглядит, а не скажем по-другому?

Вы не могли бы пояснить, какого рода ответ хотите услышать? На примере обычной таблицы умножения.

[t3rmin41]

Цитата:

Вы не могли бы пояснить, какого рода ответ хотите услышать? На примере обычной таблицы умножения.

я лучше на примере комплексных чисел. Вот например, если у нас есть число $a+i \cdot b$, то умножив на сопряженное, $a \cdot a^{*}=|a|^2$, получим квадрат модуля этого числа, т.е. сложим квадраты действительной и мнимой части (из-за $i^2=-1$). А с кватернионы как? Всё упирается опять же в поворот?

[nestoklon]

t3rmin41 в сообщении #347487 писал(а):

А с кватернионы как?

Для начала можно прочитать хотя бы статью в википедии. Даже там написано, как. Хотя я так и не понял, что "как".

Если вам это поможет, вы можете попробовать взять группу из четырёх элементов, перебрать все возможные таблицы умножения а потом попытаться понять что если вы на основе различных таблиц умножения "ортов" будете пытаться строить алгебру, у вас ничего путного и в то же время не сводящегося к комплексным числам кроме кватернионов не выйдет.
UPD Кстати, это нашлось даже в википедии

[xenich]

как понимать выражение

nestoklon в сообщении #347409 писал(а):

Кватернионы образуют алгебру, а векторы нет.

?
и что из этого следует в контексте данной темы?

[IAQ]

Кватернионы образуют тело,а не просто алгебру.Трёхмерные векторы,например,алгебру тоже образуют(лиеву,по векторному умножению).