Мощность базиса Гамеля

[MaximVD]

Подскажите пожалуйста, как доказать, что любые два базиса Гамеля в линейном пространстве имеют одинаковую мощность.
В конечномерном случае доказательство достаточно простое, но перенести на бесконечномерный случай (он в первую очередь и интересует) его не удалось. Просмотрел разные книги - везде это утверждение либо идёт как упражнение, либо говорят, что это очевидно.

Есть идея доказательства. Пусть в линейном пространстве $X$ есть два базиса Гамеля $\{e_{\alpha} \}_{\alpha\in A}$ и $\{f_{\beta}\}_{\beta\in B}$, предположим что их мощности не равны и, для определённости, будем считать, что мощность второго базиса больше, т.е. во втором базисе существует подмножество, которое эквивалентно первому базису, обозначим его $\{f_{\gamma}\}_{\gamma\in C}$ ($C\subset B$). Тогда рассмотрим линейные оболочки множеств $\{e_{\alpha} \}_{\alpha\in A}$ и $\{f_{\gamma}\}_{\gamma\in C}$, обозначим их $Y$ и $Z$ соответственно.
Из определения базиса Гамеля имеем, что $Y = X$, а $Z \subseteq Y$. Пусть $Z = Y$, тогда, очевидно, приходим к противоречию с линейной независимостью элементов базиса $\{f_{\beta}\}_{\beta\in B}$.
А вот в случае $Z \subset Y$ возникает проблема.

[Someone]

MaximVD в сообщении #339261 писал(а):

Есть идея доказательства. Пусть в линейном пространстве $X$ есть два базиса Гамеля $\{e_{\alpha} \}_{\alpha\in A}$ и $\{f_{\beta}\}_{\beta\in B}$, предположим что их мощности не равны и, для определённости, будем считать, что мощность второго базиса больше, т.е. во втором базисе существует подмножество, которое эквивалентно первому базису, обозначим его $\{f_{\gamma}\}_{\gamma\in C}$ ($C\subset B$). Тогда рассмотрим линейные оболочки множеств $\{e_{\alpha} \}_{\alpha\in A}$ и $\{f_{\gamma}\}_{\gamma\in C}$, обозначим их $Y$ и $Z$ соответственно.

Множество $\{f_{\gamma}\}_{\gamma\in C}$ нужно брать не какое попало, а определённым образом его построить, чтобы гарантировать в дальнейшем равенство $Z = Y$. Обратите внимание, что каждый вектор базиса $\{e_{\alpha} \}_{\alpha\in A}$ является линейной комбинацией конечного множества векторов базиса $\{f_{\beta}\}_{\beta\in B}$.

[terminator-II]

MaximVD в сообщении #339261 писал(а):

мощность второго базиса больше, т.е. во втором базисе существует подмножество, которое эквивалентно первому базису,

отрезок $[0,1]$ является подмножеством в $[0,2]$ но из этого не следует , что мощность второго отрезка больше первого

[MaximVD]

Уважаемый terminator-II, отрезки $[0,1]$ и $[0,2]$ эквиваленты, т.е. по определению их мощности равны. Однако, если есть два множества $A$ и $B$ и они не эквивалентны (тем самым их мощности не равны), то либо существует подмножество множества $A$, которое эквивалентно множеству $B$ и тогда принято говорить, что мощность множества $A$ больше, либо существует подмножество множества $B$, которое эквивалентно множеству $A$, тогда говорят, что мощность множества $B$ больше. (см. Колмогоров, Фомин глава 1, параграф 3)

Я же исходно предположил, что пусть есть два множества мощности которых различны, т.е. они не эквиваленты и воспользовался сказанным выше.

[ewert]

MaximVD в сообщении #339329 писал(а):

эквиваленты, т.е. по определению их мощности равны.

вовсе не по определению

MaximVD в сообщении #339329 писал(а):

Однако, если есть два множества $A$ и $B$ и они не эквивалентны (тем самым их мощности не равны), то либо существует подмножество множества $A$, которое эквивалентно множеству $B$ и тогда принято говорить, что мощность множества $A$ больше,

нет, так говорить не принято. Вы забыли добавить "но не существует подмножества множества $B$, которое было бы эквивалентно множеству $A$". Вы крайне невнимательно прочитали п.6.

[neo66]

MaximVD в сообщении #339261 писал(а):

Просмотрел разные книги - везде это утверждение либо идёт как упражнение, либо говорят, что это очевидно.

Интересно посмотреть, кому это очевидно?

По-моему, это утверждение, хоть и стало уже общим местом, но очень нетривиально. Оно становится несложным упражнением, если знать некоторые совсем нетривиальные теоремы теории множеств. Можно рассуждать так (предполагается, что базисы бесконечны):

Любой элемент первого базиса $A$ единственным образом представим в виде конечной линейной комбинации элементов второго базиса $B$. Это означает, что мы имеем отображение базиса $A$ в множество конечных подмножеств базиса $B$. Причем, прообраз любой точки конечен.

Из теории множеств мы знаем, что для бесконечного множества:

1) мощность множества конечных подмножеств равна мощности этого множества.

2) мощность счетного числа экземпляров множества равна мощности этого множества.

Отсюда следует, что $card(A) \le card(B)$. Ну, и наоборот. Следовательно $card(A) = card(B)$.

[MaximVD]

Благодарю за помощь.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #339340 писал(а):

MaximVD в сообщении #339329 писал(а):

эквиваленты, т.е. по определению их мощности равны.

вовсе не по определению

«Определение. Два множества, $M$ и $N$, называются эквивалентными..., если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.»
Колмогоров и Фомин. Издание четвертое. Стр. 25

«Если же эквивалентные между собой множества $M$ и $N$ произвольны, то говорят, что $M$ и $N$ имеют одинаковую мощность.»
Колмогоров и Фомин. Издание четвертое. Стр. 28

ewert! Почему же не по определению?

Вот определение из Бурбаки.
«Определение 1. Мы будем говорить, что множество $X$ равномощно множеству $Y$, если существует биекция множества $X$ на $Y$.
Бурбаки. «Теория множеств». Стр.186