Вот попалась брошюра А.Б.Скопенкова ."Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах",
Одной из первых задач надо доказать следующий известный факт:
опр. Длинной параметризованной кривой
![$ \[
\gamma = (x,y):[a;b] \to \mathbb{R}^2
\]$ $ \[
\gamma = (x,y):[a;b] \to \mathbb{R}^2
\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/4/c445f348d57a1210f5795d18d62db0dd82.png)
называется
![$\[
L(\gamma ) = \sup \{ |A_0 A_1 | + ... + |A_{n - 1} A_n |,a = t_0 \leqslant ... \leqslant t_n = b,A_i = \gamma (t_i )\}
\]
$ $\[
L(\gamma ) = \sup \{ |A_0 A_1 | + ... + |A_{n - 1} A_n |,a = t_0 \leqslant ... \leqslant t_n = b,A_i = \gamma (t_i )\}
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/f/d1f9d85052340517c13ff77ae391775082.png)
и доказать надо , что Длина плоской параметризованной кривой
![$\[
\begin{gathered}
\gamma = (x,y):[a;b] \to \mathbb{R}^2 \hfill \\
\gamma (t) = \gamma (x(t),y(t)) \hfill \\
\end{gathered}
\]$ $\[
\begin{gathered}
\gamma = (x,y):[a;b] \to \mathbb{R}^2 \hfill \\
\gamma (t) = \gamma (x(t),y(t)) \hfill \\
\end{gathered}
\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/a/34a6519a07619095bfd481c49317e24882.png)
равна
![$\[
L(\gamma ) = \int\limits_a^b {\sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2 } } dt
\]
$ $\[
L(\gamma ) = \int\limits_a^b {\sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2 } } dt
\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/a/07a9f5a93fc7e67e61d65a12300698b382.png)
Просто в книге написано, что она ориентирована на старшеклассников, вот и вопрос как доказывать -то.? Первое что на ум пришло это так, как в анализе делали.
Произвели разбиение отрезка
![$[a;b]$ $[a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5ff45e36cee967b17a810445d436aaa82.png)
т.е
![$\[
T = \left\{ {a = t_0 \leqslant ... \leqslant t_n = b} \right\}
\]
$ $\[
T = \left\{ {a = t_0 \leqslant ... \leqslant t_n = b} \right\}
\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/9/5797ef84a7cda3858ec178da8920f03582.png)
, а потом ему поставить ещё одно разбиение
![$\[
T_i = \{ A_0 = (x(t_0 );y(t_0 )),...,A_n = (x(t_n );y(t_n ))\}
\]
$ $\[
T_i = \{ A_0 = (x(t_0 );y(t_0 )),...,A_n = (x(t_n );y(t_n ))\}
\]
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/8/758e7353fdbfc42713faa97348dc468e82.png)
, таким образом разобьём кривую на звенья , и заметим что длина i-го звенья
![$\[
l_i = |A_{i - 1} A_n | = \sqrt {(x(t_i )^{} - x(t_{i - 1} )^{} )^2 + (y(t_i )^{} - y(t_{i - 1} )^{} )^2 }
\]
$ $\[
l_i = |A_{i - 1} A_n | = \sqrt {(x(t_i )^{} - x(t_{i - 1} )^{} )^2 + (y(t_i )^{} - y(t_{i - 1} )^{} )^2 }
\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/3/c23ed3e4256001c973ad862f72c3264882.png)
,
теперь очевидно что длина это предел суммы длин всех звеньев при том, что
![$\[
\delta (T) \to 0
\]
$ $\[
\delta (T) \to 0
\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/f/08fef418e0730b4c543665e0bd36186c82.png)
Рассмотрим отрезок
![$\[
[t_i ;t_{i - 1} ]
\]
$ $\[
[t_i ;t_{i - 1} ]
\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/d/07dd2b783c615bcd7fdaf599eb59417c82.png)
,
применим к нему формулу Лагранжа и тогда имеем
![$\[
\begin{gathered}
x(t_i )^{} - x(t_{i - 1} ) = x'(Q_i )(t_i - t_{i - 1} ) = x'(Q_i )\Delta t_i \hfill \\
y(t_i )^{} - y(t_{i - 1} ) = y'(\chi _i )(t_i - t_{i - 1} ) = y'(\chi _i )\Delta t_i \hfill \\
Q_i ,\chi _i \in [t_i ;t_{i - 1} ] \hfill \\
\end{gathered}
\]$ $\[
\begin{gathered}
x(t_i )^{} - x(t_{i - 1} ) = x'(Q_i )(t_i - t_{i - 1} ) = x'(Q_i )\Delta t_i \hfill \\
y(t_i )^{} - y(t_{i - 1} ) = y'(\chi _i )(t_i - t_{i - 1} ) = y'(\chi _i )\Delta t_i \hfill \\
Q_i ,\chi _i \in [t_i ;t_{i - 1} ] \hfill \\
\end{gathered}
\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/a/a1a82c1694a6caabca629ab1a31b33e082.png)
,
теперь подставим их в длину i-го звена :
![$\[
l_i = |A_{i - 1} A_n | = = \sqrt {x'(Q_i )^2 + y'(\chi _i )^2 } \Delta t_i
\]$ $\[
l_i = |A_{i - 1} A_n | = = \sqrt {x'(Q_i )^2 + y'(\chi _i )^2 } \Delta t_i
\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/e/56efc1a3466a10e6c032f6148b7d037a82.png)
,
теперь имеем, что
![$\[
L(\gamma ) = \mathop {\lim }\limits_{\delta (T) \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {l_i } = \mathop {\lim }\limits_{\delta (T) \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {x'(Q_i )^2 + y'(\chi _i )^2 } \Delta t_i = } \int\limits_a^b {\sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2 } } dt
\]
$ $\[
L(\gamma ) = \mathop {\lim }\limits_{\delta (T) \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {l_i } = \mathop {\lim }\limits_{\delta (T) \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {x'(Q_i )^2 + y'(\chi _i )^2 } \Delta t_i = } \int\limits_a^b {\sqrt {x'(t)^2 + y'(t)^2 } } dt
\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/b/cbb75c010745f4cbdee70c762cafdd3c82.png)
В общем как-то так. это что вот на ум приходит. А как например старшеклассники выходят из положения? можно как-то по-другому? может как-нибудь проще?