Пределы, корни

[caxap]

Если $a_n\to \infty$, то следует ли отсюда $\sqrt{a_n}\to \infty$ при $n\to\infty$, $a_n\ge 0$? А в обратную сторону? Не могу разобраться никак.

[AD]

Если $a_n\ge M\ge0$, то что можно сказать про $\sqrt{a_n}$?

[caxap]

AD в сообщении #346026 писал(а):

Если $a_n\ge M\ge0$, то что можно сказать про $\sqrt{a_n}$?

если $M\ge 1$, то $\sqrt {a_n}\le a_n$ и если первая посл. стремится к беск-сти, то и вторая. Но $a_n$ может быть и меньше 1.

[gris]

$a_n\to \infty \iff \lim\limits_{n\to\infty} a_n=\infty\Longrightarrow \exists N: \forall n>N \quad a_n>1$

Интереснее не $\sqrt{a_n}$, а $\sqrt[n]{a_n}$.

[caxap]

ага, понятно. а в обратную сторону справедливо?

[gris]

Справедливо в любую сторону для постоянного показателя любой степени, большей нуля, а корень квадратный это $a_n^{0,5}$

Кстати, это в обратную сторону справедливо именно из-за того, что корень из числа, большего единицы, меньше самого числа, а в прямую надо по определению предела.

[caxap]

а в обратную как доказать? Т.е. из расходимости $a_n$ расходимость корня.

[gris]

Если последовательность стремится к бесконечности, а каждый член второй последовательности, начиная с некоторого номера, больше соответствующего члена первой последовательности, то вторая последовательность тоже стремится к бесконечности.

Из расходимости расходимость - от противного.

Вы что понимаете под расходимостью?

[caxap]

да, но ведь $\sqrt a_n \le a_n$.

[gris]

Лучше символически писать, а то расходимость можно понимать, как не существование предела.

$\sqrt{a_n}\to\infty\Longrightarrow \exists N: \forall n>N\,a_n>\sqrt{a_n} \Longrightarrow a_n\to\infty$

[PAV]

График функции $y=\sqrt{x}$ нарисуйте. И посмотрите, что будет происходить со значением $y$, когда $x$ будет уходить неограниченно вправо по оси абсцисс.

[caxap]

gris
Да это я понял, мне надо было наоборот! Из расходимости $a_n$ расходимость корня. Расходимость -- стремление к беск.

PAV
Теперь понятно.

Тема закрыта.