Решить систему уравнений

[Руст]

Найти все действительные решения системы:

$$a^3=3(b^2+c^2)-25, \ b^3=3(c^2+a^2)-25, \ c^3=3(a^2+b^2)-25.$$

[juna]

$a,b,c$ являются корнями уравнения $x^3-6x^2+25=0$.
Это дает корни $(5, \frac{1+\sqrt{21}}{2},\frac{1-\sqrt{21}}{2})$

[незваный гость]

Как насчет $a = -1, b=-1-\sqrt3, c = -1+\sqrt3$?

Всего существует 15 вещественных решений:
1) 3 вида $a = b = c$

2) 6 перестановок написанного выше

3) 2 тройки решений вида $a = b \ne c$

[Sasha2]

Ну я вот тоже вижу симметрию и корни (5, 5, 5), а также те, которые с корнеим из 21 очевидны.

Господа, объясните, пожалуйста, вот, чтобы решать такие системы достаточно ли школьных знаний или нужно еще что-то и если да, то, что?

[незваный гость]

Школьных знаний — достаточно. Школьной техники — наверное, нет. Но ведь это же «олимпиадная» задача.

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:
Как насчет $a = -1, b=-1-\sqrt3, c = -1+\sqrt3$?

Всего существует 15 вещественных решений:
1) 3 вида $a = b = c$

2) 6 перестановок написанного выше

3) 2 тройки решений вида $a = b \ne c$

Дело в том, что последние два (под видом 3)) решения для меня новость. Хотелось бы узнать, что это за решения.

[juna]

Вот все решения, которые выдает Maple:
${c = 5, a = 5, b = 5}$,

${b = RootOf(Z^2-Z-5), c = RootOf(Z^2-Z-5), a = RootOf(Z^2-Z-5)}$,

${a = RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)$,
$c = RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)$,
$b = 2/29*RootOf(Z^6- 3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)^4-75/29-4/29*RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)-1/87*RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)^5-9/29*RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)^3-25/87*RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)^2}$

${c = RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)$,
$b = RootOf(Z^6- 3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)$,
$a = 2/29*RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*_Z^3+87*_Z^2-50)^4-75/29-4/29*RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)-1/87*RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)^5-9/29*RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)^3-25/87*RootOf(Z^6-3*Z^5+9*Z^4+77*Z^3+87*Z^2-50)^2}$

${c = RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)$,
$a = -29/4*RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)+75/4-9/4*RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)^3-1/12*RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)^5-1/4*RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)^4-133/12*RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)^2$,
$b = -29/4*RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)+75/4-9/4*RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)^3-1/12*RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)^5-1/4*RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)^4-133/12*RootOf(Z^6+6*Z^5+36*Z^4+212*Z^3+474*Z^2-725)^2}$

${b = RootOf(Z^2+2*_Z-2), a = -2-RootOf(Z^2+2*_Z-2), c = -1}$

${c = RootOf(Z^2+2*Z-2), a = -2-RootOf(Z^2+2*Z-2), b = -1}$

${b = -2-RootOf(Z^2+2*Z-2), c = RootOf(Z^2+2*Z-2), a = -1}$
и ощущение школьности как то исчезает…

[Руст]

На самом деле решается всё просто, добавляя в правую часть соответствующие члены делаем её симметричной:
$a^3+3a^2=b^3+3b^2=c^3+3c^2=q, \ q=3(a^2+b^2+c^2)-25.$
Кубическая парабола $p(x)=x^3+3x^2-q$ имеет только один корень при q>4 или q<0. Приравняя a=b=c находим корни $x^3-6x^2+25=0$, один из корней очевиден x=5, что облегчает найти и другие.
Когда, по крайней мере два из a,b,c разные, они являются корнями p(x)=0. Так как сумма корней равна -3, а симметрическая сумма попарных произведений (коэффициент при х) равен 0, то сумма квадратов равно 9, а следовательно q=2. Опять один из корней легко находится и равен -1, что облегчает найти и два других корня. При этом оказывается, что все корни различные, поэтому я задал вопрос незваному гостю вопрос об ещё каких то корнях.

[juna]

Эти корни здесь указаны:
0,6054716344628553
-2,83561719078342
0,605471634628553
а также
-2,081394
-2,081394
0,99772816

[Руст]

Да, я ошибся, считая, что второй способ включает и случай, когда два разных корня.

[Sasha2]

А интересно, а также просто могли бы Вы провести эти рассуждения, если бы вместо 3 в этих уравнениях фигурировалоа бы просто a, а вместо 25 - просто b?

Это вобщем то то к чему я вел, когда задавал вопрос о том, ЧТО ЖЕ ВСЕ ТАКИ НАДО ЗНАТЬ, чтобы решать такие системы уравнений.

Ну вопрос звучит так, нужен талант или есть четкая теория?

[Capella]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

....и ощущение школьности как то исчезает…

[Руст]

Sasha2 писал(а):

А интересно, а также просто могли бы Вы провести эти рассуждения, если бы вместо 3 в этих уравнениях фигурировалоа бы просто a, а вместо 25 - просто b?

Это вобщем то то к чему я вел, когда задавал вопрос о том, ЧТО ЖЕ ВСЕ ТАКИ НАДО ЗНАТЬ, чтобы решать такие системы уравнений.

Ну вопрос звучит так, нужен талант или есть четкая теория?

В моих рассуждениях 3 и 25 можно заменить на другие числа. Использовалась только то, что при этих значениях легко находится один из корней. Однако, для нахождения корней в случае, когда два одинаковых, не совпадающих с третьей, и эти числа не помогли.

[незваный гость]

Идея проста:
1) полагаем $a = b = c$, и получаем $a^3 - 6 a^2 +25 = 0$ — три корня.

2) полагаем $b = c$, имеем систему $a^3 = 6b^2 - 25$, $b^3 = 3 (a^2 + b^2) - 25$. Исключая $a$, получаем уравнения 9 степени относительно $b$. Поскольку $a=b$ — частный случай, оно должно делиться на первый полином. Остается неприводимое уравнение 6 степени. Оно имеет два вещественных корня.

Вот и все. Идей не много, и до полного решения задачи далеко. Но это объясняет сделанное мною ранее утверждение.