Предел последовательности.

[bull_mipt]

Задача: Дана последовательность $\[ a_n > 0 \]$, причем $\[ a_{m + n} \leqslant a_m a_n \]$. Доказать, что последовательность $\[ \sqrt[n]{{a_n }} \]$ сходится.

Пока дошел до следующего. Ограниченность последовательности $\[ b_n = \sqrt[n]{{a_n }} \]$ следует из $\[ \sqrt[n]{{a_n }} \leqslant a_1 \]$. Отношение последовательных членов $\[ \frac{{b_{n + 1} }} {{b_n }} = a_1^{\frac{1} {{n + 1}}} a_n^{ - \frac{1} {{n(n + 1)}}} \]$. Если $\[ a_1 < 1 \]$, то $\[ \frac{{b_{n + 1} }} {{b_n }} < 1 \]$, и значит $\[ b_n \]$ сходится как монотонная и ограниченная. Если $\[ a_n > 1 \]$, то монотонности $\[ b_n \]$ нет и что делать в этом случае не очень понятно.

[mihailm]

Это переформулировка известной задачи из Демидовича номер 137

Решена в антидемидовиче

[bull_mipt]

Спасибо, посмотрю.